1枚の硬貨を最大5回まで投げるゲームがある。表が3回出たら賞品がもらえる。ただし、3回目の表が出たらそれ以降は投げない。1回目に裏が出たとき、賞品がもらえるような表裏の出方の順は何通りあるか。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を最大5回まで投げるゲームがある。表が3回出たら賞品がもらえる。ただし、3回目の表が出たらそれ以降は投げない。1回目に裏が出たとき、賞品がもらえるような表裏の出方の順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、1回目に裏が出ているので、残りの4回のうち、表が3回出る必要がある。また、5回まで投げられるが、3回目の表が出たらそこで終了する。

場合分けして考える。

(1) 3回の試行で終了する場合:

1回目が裏なので、残りの2回は全て表である必要がある。この場合は1通り。

$UHH$

(2) 4回の試行で終了する場合:

1回目が裏なので、残り3回のうち2回が表でなければならない。また、4回目が必ず表である必要がある。

すなわち、2回目、3回目に表が2回出る場合を考えれば良い。これは${}_{2}C_{2}$通り。

具体的には$UHHT$, $UHTH$, $UTHH$の$UHTH$の場合。

$UHHT$

$UHTH$

$UTHH$ の場合。

(3) 5回の試行で終了する場合:

1回目が裏なので、残り4回のうち2回が表でなければならない。また、5回目が必ず表である必要がある。

すなわち、2回目、3回目、4回目に表が2回出る場合を考えれば良い。これは${}_{3}C_{2}$通り。

具体的には $UHHHT$, $UHHTH$, $UHTHH$, $UTHHT$, $UTHTH$, $UTTHH$ の場合。

$UHHHT$

$UHHTH$

$UHTHH$

$UTHHT$

$UTHTH$

$UTTHH$

(1), (2), (3) を合計すると、

$1 + 3 + 6 = 10$通り

(1) 残り2回の試行で2回表が出るのは $HH$の1通り。つまり $UHH$。

(2) 残り3回の試行で2回表が出る必要がある。ただし、3回目に表が出たら終了なので、最後の3回目は必ず表でなければならない。残り2回の中で表が2回出ないといけない。表2回、裏0回だから、${}_{2}C_{2}=1$通り。パターンは $UHHT$, $UHTH$, $UTHH$

(3) 残り4回の試行で2回表が出る必要がある。ただし、4回目に表が出たら終了なので、最後の4回目は必ず表でなければならない。残り3回の中で表が2回出ないといけない。表2回、裏1回だから、${}_{3}C_{2} = 3!/(2!1!) = 3$通り。

2回のパターン $UHH$ の1通り。

3回のパターン $UHTH$ の1通り。

4回のパターン $UTTH$ の3通り。

5回のパターン ${}_{4}C_{2} = 6$通り。

1. 残り2回のうち表が2回: $HH$. $UHH$

2. 残り3回のうち表が2回: $UHTH$. $3 C 2 = 3$ $HHT$, $HTH$, $THH$

3. 残り4回のうち表が2回: $4 C 2 = 6$

最終的に $1 + 3 + 6 = 10$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

10通り