平均発生数 $\lambda$ 回のことが $X = k$ 回起こる確率がポアソン分布で与えられています。1時間に20回起こる事象が6分間に3回起こる確率を計算し、パーセントで表す問題です。ただし、$exp(-2.0) = 0.135$ が与えられています。

1. 問題の内容

平均発生数 $\lambda$ 回のことが $X = k$ 回起こる確率がポアソン分布で与えられています。1時間に20回起こる事象が6分間に3回起こる確率を計算し、パーセントで表す問題です。ただし、$exp(-2.0) = 0.135$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、1時間あたり20回起こる事象が6分間に平均で何回起こるかを計算します。

6分は1時間の1/10なので、6分間における平均発生数 $\lambda$ は、

$\lambda = 20 \times \frac{1}{10} = 2$

次に、ポアソン分布の式 $P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} exp(-\lambda)$ に $\lambda = 2$ と $k = 3$ を代入して確率を計算します。

$P(X = 3) = \frac{2^3}{3!} exp(-2)$

$P(X = 3) = \frac{8}{6} exp(-2)$

問題文で $exp(-2.0) = 0.135$ が与えられているので、

$P(X = 3) = \frac{8}{6} \times 0.135 = \frac{4}{3} \times 0.135 = \frac{0.54}{3} = 0.18$

最後に、確率をパーセントで表します。

$0.18 \times 100 = 18\%$

3. 最終的な答え

18%