ある整式 $P(x)$ を $x^3 - 8$ で割ったときの商が $Q(x)$ で、余りが $3x^2 + 12$ である。このとき、 (1) $P(x)$ について除法の等式を記せ。 (2) $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めよ。 (3) $P(x)$ を $x^2 + 2x + 4$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

ある整式 $P(x)$ を $x^3 - 8$ で割ったときの商が $Q(x)$ で、余りが $3x^2 + 12$ である。このとき、

(1) $P(x)$ について除法の等式を記せ。

(2) $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めよ。

(3) $P(x)$ を $x^2 + 2x + 4$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 除法の等式は、割られる数 = (割る数) × (商) + (余り) で表される。$P(x)$ を $x^3 - 8$ で割ったときの商が $Q(x)$ で、余りが $3x^2 + 12$ であるから、

$P(x) = (x^3 - 8)Q(x) + 3x^2 + 12$

となる。

(2) 剰余の定理より、$P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りは $P(2)$ に等しい。

$P(x) = (x^3 - 8)Q(x) + 3x^2 + 12$ に $x = 2$ を代入すると、

$P(2) = (2^3 - 8)Q(2) + 3(2^2) + 12 = (8 - 8)Q(2) + 3(4) + 12 = 0 \cdot Q(2) + 12 + 12 = 24$

したがって、余りは24である。

(3) $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$ と因数分解できるので、$P(x)$ を $x^2 + 2x + 4$ で割ったときの余りを求める。

$P(x) = (x^3 - 8)Q(x) + 3x^2 + 12 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)Q(x) + 3x^2 + 12$

ここで、$3x^2 + 12$ を $x^2 + 2x + 4$ で割ることを考える。

$3x^2 + 12 = 3(x^2 + 2x + 4) - 6x$

したがって、$P(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)Q(x) + 3(x^2 + 2x + 4) - 6x = (x^2 + 2x + 4)((x-2)Q(x) + 3) - 6x$

よって、余りは $-6x$ である。

3. 最終的な答え

(1) $P(x) = (x^3 - 8)Q(x) + 3x^2 + 12$

(2) 24

(3) $-6x$