5次正方行列 A の行列式 $|A|$ が与えられています。 行列 $A$ の成分を使って計算される $|A|$ の定義式と具体的な行列 $A$ の成分が与えられています。 (1) 行列式 $|A|$ の計算において、積 $a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}a_{5p_5}$ がゼロにならない順列 $(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5)$ を選択肢の中から選びます。 (2) (1)で選んだ順列の転倒数を求めます。 (3) (1)で選んだ順列の符号を求めます。 (4) 行列式 $|A|$ の値を求めます。

1. 問題の内容

5次正方行列 A の行列式 $|A|$ が与えられています。

行列 $A$ の成分を使って計算される $|A|$ の定義式と具体的な行列 $A$ の成分が与えられています。

(1) 行列式 $|A|$ の計算において、積 $a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}a_{5p_5}$ がゼロにならない順列 $(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5)$ を選択肢の中から選びます。

(2) (1)で選んだ順列の転倒数を求めます。

(3) (1)で選んだ順列の符号を求めます。

(4) 行列式 $|A|$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A の成分 $a_{ij}$ について、ゼロでない成分を探します。

$a_{13} = 3$, $a_{15} = 0$

$a_{21} = 1$

$a_{34} = 4$

$a_{42} = 2$

$a_{51} = 0$, $a_{55} = 0$

$a_{53} = 0$, $a_{54} = 0$

$a_{52} = 5$

したがって、ゼロでない積 $a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}a_{5p_5}$ を得るためには、$p_1 = 3$, $p_2 = 1$, $p_3 = 4$, $p_4 = 2$, $p_5 = 5$ である必要があります。

つまり順列は (3, 1, 4, 2, 5) です。

(2) 順列 (3, 1, 4, 2, 5) の転倒数を計算します。

3 > 1, 3 > 2

4 > 2

転倒数は 3 です。

(3) 順列の符号は (-1)^(転倒数) で計算されます。

転倒数は 3 なので、符号は $(-1)^3 = -1$ です。

(4) 行列式 $|A|$ の値を計算します。

$|A| = \sum \epsilon(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5) a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}a_{5p_5}$

ゼロでない積は $a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}a_{55} = 3 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 0 = 0$と $a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}a_{55} = a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}a_{52} = 3 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5$に対応します。

しかし、一つしかゼロにならないものがありません。したがって、順列(3,1,4,2,5)だけを考えます。この時の積は$a_{13} a_{21} a_{34} a_{42} a_{55} = 3 \times 1 \times 4 \times 2 \times 0 = 0$ となってゼロになってしまいます。

ゼロにならない積を持つ順列を求める必要があります。

$a_{13} \ne 0$, $a_{21} \ne 0$, $a_{34} \ne 0$, $a_{42} \ne 0$, $a_{55} \ne 0$

しかし、$a_{55} = 0$なので、最後の5行目では、2列目の成分$a_{52}=5$を選ばないといけない。

$a_{1p_1}, a_{2p_2}, a_{3p_3}, a_{4p_4}, a_{52}$という形でないといけない。

選択肢を見ると、2列目は$p_4$が2である必要がある。

従って、選択肢の1つ目の(3,1,4,2,5)を試すことになる。

順列(3,1,4,2,5)の時は、$a_{13}, a_{21}, a_{34}, a_{42}, a_{55}$となる。

$a_{55}=0$だから、この順列は消える。

$a_{13}, a_{21}, a_{34}, a_{42}, a_{5i}$のiは2,5しかない。5はもう使用したので、i=2。

$a_{13}, a_{21}, a_{3p_3}, a_{4p_4}, a_{52}$から計算する。

$p_1=3, p_2=1, p_5=2$で固定。残りは4,5しかない。$p_3,p_4$に4,5を入れることになる。

$p_3 = 4, p_4 = 5$: (3, 1, 4, 5, 2) -> $a_{34}$

$p_3 = 5, p_4 = 4$: (3, 1, 5, 4, 2) -> $a_{35}$

よって、残るのは (3, 1, 5, 4, 2)

a13 a21 a35 a44 a52 = 3 * 1 * 0 * 2 * 5 = 0 となり、ゼロになるのでこれも違う。

行列式は0。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 3

(3) 2

(4) 0