与えられた行列 $ \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} $ の逆行列を、基本変形を用いて求める問題です。
2025/6/9
1. 問題の内容
与えられた行列
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 \\
4 & -1 & 3 \\
-2 & 1 & -1
\end{pmatrix}
の逆行列を、基本変形を用いて求める問題です。
2. 解き方の手順
基本変形を用いて逆行列を求めるためには、与えられた行列と単位行列を並べた拡大行列を作り、行基本変形を行って、左側が単位行列になるようにします。
その結果、右側に現れる行列が逆行列となります。
まず、拡大行列を作成します。
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\
4 & -1 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
1行目を-1倍します。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 & 0 & 0 \\
4 & -1 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
2行目から1行目の4倍を引きます。
3行目に1行目の2倍を加えます。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & -1 & | & 4 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 & | & -2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
2行目と3行目を入れ替えます。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \\
0 & 3 & -1 & | & 4 & 1 & 0
\end{pmatrix}
2行目を-1倍します。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & | & 2 & 0 & -1 \\
0 & 3 & -1 & | & 4 & 1 & 0
\end{pmatrix}
1行目に2行目を加えます。
3行目から2行目の3倍を引きます。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & | & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 2 & | & -2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
3行目を1/2倍します。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & | & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & -1 & 1/2 & 3/2
\end{pmatrix}
2行目に3行目を加えます。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 & 1/2 & 1/2 \\
0 & 0 & 1 & | & -1 & 1/2 & 3/2
\end{pmatrix}
したがって、逆行列は
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & 1/2 & 1/2 \\
-1 & 1/2 & 3/2
\end{pmatrix}
となります。
3. 最終的な答え
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & 1/2 & 1/2 \\
-1 & 1/2 & 3/2
\end{pmatrix}