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与えられた連立一次方程式の解を求める問題と、行列の階数を求める問題です。 (1) $x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 1$, $2x_1 + x_2 - 2x_3 = 2$, $3x_1 + 2x_2 + x_3 = -1$ (2) $2x_1 + x_2 - 2x_3 = 10$, $3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 1$, $5x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 4$ (3) $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 + x_3 = 0$, $x_2 - x_4 = -1$, $x_1 - x_3 = 1$ (4) $x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$, $2x_1 + 5x_2 + 2x_3 = 0$, $x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 0$, $x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 0$ 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & -6 \\ 3 & -11 & 12 \end{bmatrix}$ の階数を求める。

代数学連立一次方程式行列ガウスの消去法階数
2025/6/9

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求める問題と、行列の階数を求める問題です。
(1) x1+2x2−3x3=1x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 1, 2x1+x2−2x3=22x_1 + x_2 - 2x_3 = 2, 3x1+2x2+x3=−13x_1 + 2x_2 + x_3 = -1
(2) 2x1+x2−2x3=102x_1 + x_2 - 2x_3 = 10, 3x1+2x2+2x3=13x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 1, 5x1+4x2+3x3=45x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 4
(3) x1+x2=1x_1 + x_2 = 1, x1+x3=0x_1 + x_3 = 0, x2−x4=−1x_2 - x_4 = -1, x1−x3=1x_1 - x_3 = 1
(4) x1+2x2−x3=0x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 2x1+5x2+2x3=02x_1 + 5x_2 + 2x_3 = 0, x1+4x2+7x3=0x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 0, x1+3x2+3x3=0x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 0
行列 A=[1−2221−234−63−1112]A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & -6 \\ 3 & -11 & 12 \end{bmatrix} の階数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連立一次方程式を解くために、掃き出し法（ガウスの消去法）を用いる。
(2) 連立一次方程式を解くために、掃き出し法（ガウスの消去法）を用いる。
(3) 連立一次方程式を解くために、掃き出し法（ガウスの消去法）を用いる。
(4) 連立一次方程式を解くために、掃き出し法（ガウスの消去法）を用いる。
行列の階数を求めるために、行基本変形を用いて階段行列に変形し、0でない行の数を数える。
**解答:**
(1)
行列を使って表現し、掃き出し法を行う。
[12−3121−22321−1]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & -1 \end{bmatrix}
[12−310−3400−410−4]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & 4 & 0 \\ 0 & -4 & 10 & -4 \end{bmatrix}
[12−310−3400014/3−4]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 14/3 & -4 \end{bmatrix}
14/3x3=−4  ⟹  x3=−6/714/3 x_3 = -4 \implies x_3 = -6/7
−3x2+4x3=0  ⟹  −3x2=24/7  ⟹  x2=−8/7-3x_2 + 4x_3 = 0 \implies -3x_2 = 24/7 \implies x_2 = -8/7
x1+2x2−3x3=1  ⟹  x1=1−12/7−16/7=5/7x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 1 \implies x_1 = 1 - 12/7 - 16/7 = 5/7
x1=5/7,x2=−8/7,x3=−6/7x_1=5/7, x_2=-8/7, x_3=-6/7
(2)
行列を使って表現し、掃き出し法を行う。
[21−21032215434]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 10 \\ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 & 4 \end{bmatrix}
[21−21001/25−1403/28−21]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 10 \\ 0 & 1/2 & 5 & -14 \\ 0 & 3/2 & 8 & -21 \end{bmatrix}
[21−21001/25−1400−721]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 10 \\ 0 & 1/2 & 5 & -14 \\ 0 & 0 & -7 & 21 \end{bmatrix}
−7x3=21  ⟹  x3=−3-7x_3 = 21 \implies x_3 = -3
1/2x2+5x3=−14  ⟹  x2/2=1  ⟹  x2=21/2 x_2 + 5x_3 = -14 \implies x_2/2 = 1 \implies x_2 = 2
2x1+x2−2x3=10  ⟹  2x1=10−2−6=14  ⟹  x1=42x_1 + x_2 - 2x_3 = 10 \implies 2x_1 = 10 - 2 - 6 = 14 \implies x_1 = 4
x1=4,x2=2,x3=−3x_1 = 4, x_2 = 2, x_3 = -3
(3)
x1+x2=1x_1 + x_2 = 1
x1+x3=0x_1 + x_3 = 0
x2−x4=−1x_2 - x_4 = -1
x1−x3=1x_1 - x_3 = 1
x1=1/2,x3=−1/2x_1 = 1/2, x_3 = -1/2
x2=1−x1=1/2x_2 = 1 - x_1 = 1/2
1/2−x4=−1  ⟹  x4=3/21/2 - x_4 = -1 \implies x_4 = 3/2
x1=1/2,x2=1/2,x3=−1/2,x4=3/2x_1 = 1/2, x_2 = 1/2, x_3 = -1/2, x_4 = 3/2
(4)
x1+2x2−x3=0x_1 + 2x_2 - x_3 = 0
2x1+5x2+2x3=02x_1 + 5x_2 + 2x_3 = 0
x1+4x2+7x3=0x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 0
x1+3x2+3x3=0x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 0
[12−1252147133]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 4 & 7 \\ 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}
[12−1014028014]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}
[12−1014000000]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
x2=−4x3x_2 = -4x_3
x1+2(−4x3)−x3=0  ⟹  x1=9x3x_1 + 2(-4x_3) - x_3 = 0 \implies x_1 = 9x_3
解は (9x3,−4x3,x3)(9x_3, -4x_3, x_3). 例えば x3=1x_3 = 1 のとき (9,−4,1)(9,-4,1).
よって x1=9t,x2=−4t,x3=tx_1 = 9t, x_2 = -4t, x_3 = t (tは任意の実数)
**行列の階数**
A=[1−2221−234−63−1112]A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & -6 \\ 3 & -11 & 12 \end{bmatrix}
[1−2205−6010−120−56]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 5 & -6 \\ 0 & 10 & -12 \\ 0 & -5 & 6 \end{bmatrix}
[1−2205−6000000]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
階段行列にしたとき、0でない行は2行なので、階数は2である。

3. 最終的な答え

(1) x1=5/7x_1 = 5/7, x2=−8/7x_2 = -8/7, x3=−6/7x_3 = -6/7
(2) x1=4x_1 = 4, x2=2x_2 = 2, x3=−3x_3 = -3
(3) x1=1/2x_1 = 1/2, x2=1/2x_2 = 1/2, x3=−1/2x_3 = -1/2, x4=3/2x_4 = 3/2
(4) x1=9t,x2=−4t,x3=tx_1 = 9t, x_2 = -4t, x_3 = t (tは任意の実数)
行列の階数: 2

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