(a) 次の連立一次方程式を解く: $ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + y + 3z = 6 \\ 3x - 2y + 3z = 1 \end{cases} $ (b) 定数 $a, b$ を含む連立一次方程式 $ \begin{cases} ax + (b + 2)y = -3 \\ bx - 2ay = 8 \end{cases} $ を解いて $x = 2, y = -1$ を得た。このとき、$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(a) 次の連立一次方程式を解く:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + y + 3z = 6 \\ 3x - 2y + 3z = 1 \end{cases}$

(b) 定数 $a, b$ を含む連立一次方程式

$\begin{cases} ax + (b + 2)y = -3 \\ bx - 2ay = 8 \end{cases}$

を解いて $x = 2, y = -1$ を得た。このとき、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(a) 連立一次方程式を解く。

まず、第2式から第1式を引く：

$(2x + y + 3z) - (x + y + z) = 6 - 2$

$x + 2z = 4$　(4)

次に、第3式から第1式の3倍を引く：

$(3x - 2y + 3z) - 3(x + y + z) = 1 - 3(2)$

$3x - 2y + 3z - 3x - 3y - 3z = 1 - 6$

$-5y = -5$

$y = 1$

$y = 1$ を第1式に代入する:

$x + 1 + z = 2$

$x + z = 1$　(5)

(4)式 $x + 2z = 4$ から (5)式 $x + z = 1$ を引く:

$(x + 2z) - (x + z) = 4 - 1$

$z = 3$

$z = 3$ を (5)式 $x + z = 1$ に代入する:

$x + 3 = 1$

$x = -2$

(b) $x = 2, y = -1$ を連立一次方程式に代入する。

$\begin{cases} a(2) + (b + 2)(-1) = -3 \\ b(2) - 2a(-1) = 8 \end{cases}$

$\begin{cases} 2a - (b + 2) = -3 \\ 2b + 2a = 8 \end{cases}$

$\begin{cases} 2a - b - 2 = -3 \\ 2a + 2b = 8 \end{cases}$

$\begin{cases} 2a - b = -1 \\ a + b = 4 \end{cases}$

第2式から、$b = 4 - a$ となる。

これを第1式に代入する：

$2a - (4 - a) = -1$

$2a - 4 + a = -1$

$3a = 3$

$a = 1$

$b = 4 - a = 4 - 1 = 3$

3. 最終的な答え

(a) $x = -2, y = 1, z = 3$

(b) $a = 1, b = 3$