$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ のとき、不等式 $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta < \sqrt{3}$ の解を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ のとき、不等式 $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta < \sqrt{3}$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta < \sqrt{3}$ を三角関数の合成を用いて変形する。

まず、左辺を合成する。

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \left(\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) = 2 \sin \left(\theta + \frac{\pi}{3} \right)$

ここで、$\frac{\pi}{3}$ は $60^\circ$ である。したがって、

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin (\theta + 60^\circ)$

元の不等式は、

$2 \sin(\theta + 60^\circ) < \sqrt{3}$

となる。両辺を2で割ると、

$\sin(\theta + 60^\circ) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

ここで、$\theta$ の範囲は $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ なので、$\theta + 60^\circ$ の範囲は $60^\circ \le \theta + 60^\circ < 420^\circ$ である。

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は、$60^\circ$ と $120^\circ$ である。

したがって、$\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ の範囲は、$0^\circ \le x < 60^\circ$ または $120^\circ < x < 360^\circ$ である。

$x$ を $\theta + 60^\circ$ で置き換えると、

$60^\circ \le \theta + 60^\circ < 420^\circ$ の範囲で、$\sin(\theta + 60^\circ) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta + 60^\circ$ の範囲は、

$60^\circ < \theta + 60^\circ < 120^\circ$ または $120^\circ < \theta + 60^\circ < 360^\circ$ または $360^\circ < \theta + 60^\circ < 420^\circ$となる。

各範囲を解くと、

$0^\circ < \theta < 60^\circ$

$60^\circ < \theta < 300^\circ$

$300^\circ < \theta < 360^\circ$

したがって、$\sin(\theta + 60^\circ) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は $0^\circ \le \theta < 60^\circ$ または $120^\circ < \theta + 60^\circ < 420^\circ$ を満たす $60^\circ < \theta < 300^\circ$ である。

あわせると、$0^\circ < \theta < 60^\circ$ または $60^\circ < \theta < 300^\circ$となる。

3. 最終的な答え

$0 < \theta < 60$ または $120 < \theta + 60 < 360$ から $60 < \theta < 300$

または $360 < \theta + 60 < 420$ から $300 < \theta < 360$ なので、

$0 < \theta < 60$ および $60 < \theta < 300$.

最終的な答えは $0^\circ < \theta < 60^\circ$ または $120^\circ < \theta + 60^\circ < 360 + 60^\circ = 420^\circ$ となる。

言い換えると、$60 < \theta + 60 < 420$ となる。

結局、$0^\circ < \theta < 60^\circ$, または $60^\circ < \theta < 300^\circ$.

$0 < \theta < 60$ または $300 < \theta < 360$

したがって、(1) は 0、(2) は 300です。

最終的な答え：

0 < θ < 300