$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \theta + 3 \sin \theta = 2$ を満たす $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \theta + 3 \sin \theta = 2$ を満たす $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $\cos \theta + 3 \sin \theta = 2$ を変形します。$\cos \theta = 2 - 3 \sin \theta$ となります。

次に、三角関数の基本関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。$\cos \theta$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + (2 - 3 \sin \theta)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + 4 - 12 \sin \theta + 9 \sin^2 \theta = 1$

$10 \sin^2 \theta - 12 \sin \theta + 3 = 0$

この式は $\sin \theta$ についての二次方程式なので、解の公式を用いて $\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3}}{2 \cdot 10} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{20} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{20} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{20} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{10}$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であるから $\sin \theta$ は正なので、2つの解はどちらも条件を満たす可能性があります。

ここで、$\sin \theta = \frac{6 + \sqrt{6}}{10}$ の場合、$\sin \theta \approx \frac{6+2.45}{10} \approx 0.845$ となり、$\cos \theta = 2 - 3 \sin \theta \approx 2 - 3(0.845) = 2 - 2.535 = -0.535 < 0$ となります。

これは、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\cos \theta \ge 0$ であることに矛盾します。

したがって、$\sin \theta = \frac{6 - \sqrt{6}}{10}$ である必要があります。

このとき、$\sin \theta = \frac{6 - \sqrt{6}}{10} \approx \frac{6-2.45}{10} = 0.355$ となり、

$\cos \theta = 2 - 3 \sin \theta = 2 - 3 (\frac{6 - \sqrt{6}}{10}) = \frac{20 - 18 + 3\sqrt{6}}{10} = \frac{2 + 3\sqrt{6}}{10}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{6 - \sqrt{6}}{10}$

$\cos \theta = \frac{2 + 3\sqrt{6}}{10}$