$n$ を整数とするとき、「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明します。

1. 問題の内容

$n$ を整数とするとき、「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明します。

2. 解き方の手順

対偶を利用して証明を行います。

元の命題の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^3 + 2n + 1$ は奇数である」となります。

この対偶を証明します。

$n$ が偶数であると仮定すると、$n = 2k$ （$k$ は整数）と表すことができます。

このとき、

$n^3 + 2n + 1$ を計算すると、

$n^3 + 2n + 1 = (2k)^3 + 2(2k) + 1 = 8k^3 + 4k + 1 = 2(4k^3 + 2k) + 1$

$4k^3 + 2k$ は整数なので、$2(4k^3 + 2k)$ は偶数です。したがって、$2(4k^3 + 2k) + 1$ は奇数です。

よって、$n$ が偶数ならば、$n^3 + 2n + 1$ は奇数であることが証明されました。

これは元の命題の対偶が真であることを示しているので、元の命題「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」も真であることが証明されました。

3. 最終的な答え

$n$ が偶数であると仮定すると、$n = 2k$ ($k$ は整数)と表せる。このとき、$n^3 + 2n + 1 = (2k)^3 + 2(2k) + 1 = 8k^3 + 4k + 1 = 2(4k^3 + 2k) + 1$ となる。

$4k^3 + 2k$は整数なので、$n^3 + 2n + 1$は奇数である。したがって、$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。