与えられた積分 $\int (5x^2 + 2x + 1) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (5x^2 + 2x + 1) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積分は線形性を持つため、各項を別々に積分できます。

つまり、

$\int (5x^2 + 2x + 1) \, dx = \int 5x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx$

となります。

各項を積分します。

* $\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = \frac{5}{3}x^3 + C_1$

* $\int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = x^2 + C_2$

* $\int 1 \, dx = x + C_3$

これらの結果を足し合わせると、

$\int (5x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{5}{3}x^3 + x^2 + x + C$

となります。ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}x^3 + x^2 + x + C$