与えられた多項式の不定積分を求める問題です。 $\int (-6x^3 -3x^2 + 5x + 3) dx$

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求める問題です。

$\int (-6x^3 -3x^2 + 5x + 3) dx$

2. 解き方の手順

多項式の不定積分は、各項ごとに積分を行い、最後に積分定数 $C$ を加えます。

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を利用します。

まず、各項を個別に積分します。

$\int -6x^3 dx = -6 \int x^3 dx = -6 \cdot \frac{x^4}{4} = -\frac{3}{2}x^4$

$\int -3x^2 dx = -3 \int x^2 dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3$

$\int 5x dx = 5 \int x dx = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2$

$\int 3 dx = 3x$

これらの結果を合計し、積分定数 $C$ を加えます。

$-\frac{3}{2}x^4 - x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}x^4 - x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + C$