曲線 $C: y = |x^2 - x - 2| + bx + c$ が点 $(-2, 1)$ と点 $(1, 2)$ を通る。 (1) $b, c$ の値を求める。 (2) 曲線 $C$ の概形を描く。 (3) 曲線 $C$ と直線 $y = x + k$ が共有点を2つ持つときの $k$ の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = |x^2 - x - 2| + bx + c$ が点 $(-2, 1)$ と点 $(1, 2)$ を通る。

(1) $b, c$ の値を求める。

(2) 曲線 $C$ の概形を描く。

(3) 曲線 $C$ と直線 $y = x + k$ が共有点を2つ持つときの $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $b, c$ の値を求める。

点 $(-2, 1)$ を通るので、

$1 = |(-2)^2 - (-2) - 2| + b(-2) + c$

$1 = |4 + 2 - 2| - 2b + c$

$1 = 4 - 2b + c$

$-2b + c = -3$ ...(i)

点 $(1, 2)$ を通るので、

$2 = |(1)^2 - (1) - 2| + b(1) + c$

$2 = |1 - 1 - 2| + b + c$

$2 = 2 + b + c$

$b + c = 0$ ...(ii)

(i) と (ii) の連立方程式を解く。

$-2b + c = -3$

$b + c = 0$

(i) - (ii) より

$-3b = -3$

$b = 1$

$b + c = 0$ より

$1 + c = 0$

$c = -1$

(2) 曲線 $C$ の概形を描く。

$y = |x^2 - x - 2| + x - 1$

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

したがって、$x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき、$y = x^2 - x - 2 + x - 1 = x^2 - 3$

$-1 < x < 2$ のとき、$y = -(x^2 - x - 2) + x - 1 = -x^2 + x + 2 + x - 1 = -x^2 + 2x + 1 = -(x - 1)^2 + 2$

よって、$y = \begin{cases} x^2 - 3 & (x \leq -1 \text{ or } x \geq 2) \\ -x^2 + 2x + 1 & (-1 < x < 2) \end{cases}$

グラフの概形は、

$x \leq -1$ のとき、$y = x^2 - 3$ は下に凸の放物線で頂点は $(0, -3)$。

$-1 < x < 2$ のとき、$y = -x^2 + 2x + 1$ は上に凸の放物線で頂点は $(1, 2)$。

$x \geq 2$ のとき、$y = x^2 - 3$ は下に凸の放物線で頂点は $(0, -3)$。

(3) 曲線 $C$ と直線 $y = x + k$ が共有点を2つ持つときの $k$ の値の範囲を求める。

$x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき、

$x^2 - 3 = x + k$

$x^2 - x - (3 + k) = 0$

判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = (-1)^2 - 4(1)(-3 - k) = 1 + 12 + 4k = 4k + 13$

$D_1 > 0$ となるのは、$4k + 13 > 0$, $k > -\frac{13}{4}$

解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{4k + 13}}{2}$

$-1 < x < 2$ のとき、

$-x^2 + 2x + 1 = x + k$

$x^2 - x + (k - 1) = 0$

判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = (-1)^2 - 4(1)(k - 1) = 1 - 4k + 4 = 5 - 4k$

$D_2 > 0$ となるのは、$5 - 4k > 0$, $k < \frac{5}{4}$

解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{5 - 4k}}{2}$

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 3 = -2$

$x = 2$ のとき、$y = 2^2 - 3 = 1$

$y = x + k$ が $(-1, -2)$ を通るとき、$-2 = -1 + k$, $k = -1$

$y = x + k$ が $(2, 1)$ を通るとき、$1 = 2 + k$, $k = -1$

$x = 1$ のとき、$y = -(1)^2 + 2(1) + 1 = 2$

$y = x + k$ が $(1, 2)$ を通るとき、$2 = 1 + k$, $k = 1$

$k = -1$ のとき、共有点は $(-1, -2)$ と $(2, 1)$ の2つ。

$k = 1$ のとき、共有点は $(1, 2)$ のみ。

$k$ の範囲は $- \frac{13}{4} < k < -1$ または $k = -1$ または $-1 < k < \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 1$, $c = -1$

(2) グラフの概形は上記参照

(3) $k > -13/4$ かつ $k < 5/4$ かつ $k \neq 1$.

$-\frac{13}{4} < k \leq -1$, $-1 < k < \frac{5}{4}$, となる. 結局 $k > -\frac{13}{4}$ かつ $k < \frac{5}{4}$。

$k \neq 1$ に注意。

$- \frac{13}{4} < k < \frac{5}{4}$