自然数 $k$ に対して、数列 $\{a_n\}$ の最初の $k$ 項の和を $T_1$、次の $k$ 項の和を $T_2$、その次の $k$ 項の和を $T_3$ と定義する。 (1) 数列 $\{a_n\}$ が等比数列で $k=4$、$T_1=5$、$T_2=80$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。 (2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列ならば、数列 $\{T_n\}$ も等差数列であることを証明せよ。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、数列 $\{a_n\}$ の最初の $k$ 項の和を $T_1$、次の $k$ 項の和を $T_2$、その次の $k$ 項の和を $T_3$ と定義する。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が等比数列で $k=4$、$T_1=5$、$T_2=80$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列ならば、数列 $\{T_n\}$ も等差数列であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $\{a_n\}$ が等比数列であるから、初項を $a$、公比を $r$ とおく。$k=4$ であるから、

$T_1 = a + ar + ar^2 + ar^3 = a(1 + r + r^2 + r^3) = a\frac{1-r^4}{1-r}$

$T_2 = ar^4 + ar^5 + ar^6 + ar^7 = ar^4(1 + r + r^2 + r^3) = ar^4\frac{1-r^4}{1-r}$

$T_1 = 5$、$T_2 = 80$ であるから、

$a\frac{1-r^4}{1-r} = 5$

$ar^4\frac{1-r^4}{1-r} = 80$

2番目の式を1番目の式で割ると、

$r^4 = \frac{80}{5} = 16$

$r = \pm 2$

$r=2$ のとき、

$5 = a(1+2+4+8) = 15a$

$a = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}$

$r=-2$ のとき、

$5 = a(1-2+4-8) = -5a$

$a = -1$

$a_n = -1 \cdot (-2)^{n-1} = -(-2)^{n-1}$

(2) $\{a_n\}$ が等差数列であるから、初項を $a$、公差を $d$ とおく。すると $a_n = a + (n-1)d$ と表せる。

$T_n$ は $k$ 項ずつの和なので、

$T_1 = \sum_{i=1}^{k} a_i = \sum_{i=1}^{k} [a+(i-1)d] = ka + \frac{k(k-1)}{2}d$

$T_2 = \sum_{i=k+1}^{2k} a_i = \sum_{i=k+1}^{2k} [a+(i-1)d] = ka + (\sum_{i=k+1}^{2k} (i-1))d$

$\sum_{i=k+1}^{2k} (i-1) = \sum_{i=k}^{2k-1} i = \sum_{i=1}^{2k-1} i - \sum_{i=1}^{k-1} i = \frac{(2k-1)2k}{2} - \frac{(k-1)k}{2} = \frac{4k^2-2k - k^2+k}{2} = \frac{3k^2-k}{2} = \frac{k(3k-1)}{2}$

$T_2 = ka + \frac{k(3k-1)}{2}d$

$T_2 - T_1 = ka + \frac{k(3k-1)}{2}d - (ka + \frac{k(k-1)}{2}d) = \frac{k(3k-1 - k+1)}{2}d = \frac{2k^2d}{2} = k^2d$

$T_3 = \sum_{i=2k+1}^{3k} a_i = \sum_{i=2k+1}^{3k} [a+(i-1)d] = ka + (\sum_{i=2k+1}^{3k} (i-1))d$

$\sum_{i=2k+1}^{3k} (i-1) = \sum_{i=2k}^{3k-1} i = \sum_{i=1}^{3k-1} i - \sum_{i=1}^{2k-1} i = \frac{(3k-1)3k}{2} - \frac{(2k-1)2k}{2} = \frac{9k^2-3k - 4k^2+2k}{2} = \frac{5k^2-k}{2} = \frac{k(5k-1)}{2}$

$T_3 = ka + \frac{k(5k-1)}{2}d$

$T_3 - T_2 = ka + \frac{k(5k-1)}{2}d - (ka + \frac{k(3k-1)}{2}d) = \frac{k(5k-1-3k+1)}{2}d = \frac{2k^2d}{2} = k^2d$

よって、$T_2 - T_1 = T_3 - T_2 = k^2 d$ となるため、数列 $\{T_n\}$ は公差 $k^2 d$ の等差数列である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = -(-2)^{n-1}$

(2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列ならば、数列 $\{T_n\}$ も等差数列であることが証明された。