実数 $a, b, c$ が与えられたとき、命題「すべての実数 $b$ に対して、ある実数 $x$ が不等式 $ax^2 + bx + c < 0$ を満たす」が成立するための、$a$ と $c$ が満たすべき必要十分条件を求め、さらに $(a, c)$ の範囲を図示する。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が与えられたとき、命題「すべての実数 $b$ に対して、ある実数 $x$ が不等式 $ax^2 + bx + c < 0$ を満たす」が成立するための、$a$ と $c$ が満たすべき必要十分条件を求め、さらに $(a, c)$ の範囲を図示する。

2. 解き方の手順

すべての実数 $b$ に対して、ある実数 $x$ が $ax^2 + bx + c < 0$ を満たす条件を考える。

まず、$a = 0$ の場合を考える。不等式は $bx + c < 0$ となる。すべての $b$ に対してこの不等式を満たす $x$ が存在するためには、$b = 0$ のときも不等式が成り立つ必要があり、$c < 0$ でなければならない。しかし、$b$ が任意の実数なので、例えば $b$ を十分大きい正の数にすると、$x$ をどんな値にしても $bx$ は大きな正の数になり、$bx + c < 0$ を満たすことができない。また、$b$ が十分小さい負の数の場合も同様である。したがって、$a=0$ の場合は条件を満たさない。

次に、$a \neq 0$ の場合を考える。不等式 $ax^2 + bx + c < 0$ は、$a>0$ ならば、$x$ を十分大きな値にすれば常に正になるので、$a<0$ でなければならない。

$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおくと、$a < 0$ のとき、$f(x)$ は上に凸な放物線である。ある実数 $x$ に対して $f(x) < 0$ となるためには、頂点の $y$ 座標が0より小さければよい。しかし、頂点の座標は$b$に依存する。

条件は「すべての実数$b$」に対して「ある実数$x$」が $ax^2+bx+c < 0$を満たすことである。これは、$b$の値に関わらず、$ax^2+bx+c < 0$となる$x$が存在することを意味する。

$ax^2+bx+c < 0$を変形する。$a<0$のとき、$x$をどのようにとっても、$ax^2$は負の方向にいくらでも小さくできる。

したがって、$a<0$であれば、不等式を満たす$x$が存在するために$c$に条件はつかない。

ゆえに、$a < 0$ が必要十分条件である。

$(a, c)$ の範囲を図示すると、$a<0$ となる領域である。$c$ については条件がないので、$a$軸に対して垂直な領域となる。

3. 最終的な答え

必要十分条件: $a < 0$

$(a, c)$ の範囲: $a < 0$ を満たす平面上の領域 (直線 $a = 0$ の左側の領域)