$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin^2\theta + 9\cos\theta + 3 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin^2\theta + 9\cos\theta + 3 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ という関係を利用して、与えられた方程式を $\cos\theta$ のみの式に変換します。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を与えられた方程式に代入すると、

$2(1 - \cos^2\theta) + 9\cos\theta + 3 = 0$

$2 - 2\cos^2\theta + 9\cos\theta + 3 = 0$

$-2\cos^2\theta + 9\cos\theta + 5 = 0$

$2\cos^2\theta - 9\cos\theta - 5 = 0$

ここで、$x = \cos\theta$ とおくと、

$2x^2 - 9x - 5 = 0$

$(2x + 1)(x - 5) = 0$

よって、$x = -\frac{1}{2}$ または $x = 5$ となります。

$x = \cos\theta$ なので、

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ または $\cos\theta = 5$

$-1 \le \cos\theta \le 1$ より、$\cos\theta = 5$ は解なし。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求めます。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{2}{3}\pi$ と $\theta = \frac{4}{3}\pi$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$