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与えられた式 $2x^2 + 9xy - 5y^2$ を因数分解します。

代数学因数分解二次式多項式
2025/6/9

1. 問題の内容

与えられた式 2x2+9xy−5y22x^2 + 9xy - 5y^2 を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式は xx と yy の2次式なので、(ax+by)(cx+dy)(ax+by)(cx+dy) の形に因数分解できると仮定します。
展開すると、
(ax+by)(cx+dy)=acx2+(ad+bc)xy+bdy2(ax+by)(cx+dy) = acx^2 + (ad+bc)xy + bdy^2
となります。
与えられた式 2x2+9xy−5y22x^2 + 9xy - 5y^2 と比較すると、
ac=2ac = 2
ad+bc=9ad + bc = 9
bd=−5bd = -5
となるような a,b,c,da, b, c, d を探します。
ac=2ac = 2 と bd=−5bd = -5 を満たす整数の組み合わせは限られています。例えば、a=2,c=1a=2, c=1 とすると、2d+b=92d + b = 9 と bd=−5bd = -5 が成り立ちます。b=1,d=−5b=1, d=-5 は bd=−5bd=-5 を満たしますが、2d+b=2(−5)+1=−92d + b = 2(-5) + 1 = -9 となり、条件を満たしません。b=−1,d=5b=-1, d=5 も bd=−5bd=-5 を満たしますが、2d+b=2(5)−1=92d + b = 2(5) - 1 = 9 となり、条件を満たします。
したがって、a=2,b=−1,c=1,d=5a=2, b=-1, c=1, d=5 が条件を満たします。
よって、2x2+9xy−5y2=(2x−y)(x+5y)2x^2 + 9xy - 5y^2 = (2x-y)(x+5y) と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(2x−y)(x+5y)(2x-y)(x+5y)

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