実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。 (1) すべての実数 $x$ に対して、不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つ条件を求めます。 (2) ある実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2x + 9 < kx$ が成り立つ条件を求めます。

1. 問題の内容

実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

(1) すべての実数 $x$ に対して、不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つ条件を求めます。

(2) ある実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2x + 9 < kx$ が成り立つ条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$kx^2 - kx + 2 > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つ条件を考えます。

場合分けをします。

(i) $k=0$ のとき、 $2 > 0$ となり、これは常に成り立ちます。したがって、$k=0$ は条件を満たします。

(ii) $k \neq 0$ のとき、与えられた不等式が常に成り立つためには、以下の2つの条件が必要です。

- $k > 0$ (下に凸であること)

- 判別式 $D = (-k)^2 - 4(k)(2) < 0$ (実数解を持たないこと)

判別式を計算すると、$D = k^2 - 8k < 0$ となります。

$k(k-8) < 0$ より、$0 < k < 8$ が得られます。

$k>0$ の条件と合わせて、$0 < k < 8$ となります。

$k=0$ の場合を含めると、$0 \leq k < 8$ となります。

(2)

$x^2 - 2x + 9 < kx$ がある実数 $x$ に対して成り立つ条件を考えます。

$x^2 - (2+k)x + 9 < 0$

この不等式がある実数 $x$ で成り立つためには、二次方程式 $x^2 - (2+k)x + 9 = 0$ が実数解を持つ必要があります。つまり、判別式 $D > 0$ であればよいです。

$D = (2+k)^2 - 4(1)(9) > 0$

$4 + 4k + k^2 - 36 > 0$

$k^2 + 4k - 32 > 0$

$(k+8)(k-4) > 0$

したがって、$k < -8$ または $k > 4$ が得られます。

3. 最終的な答え

(1) $0 \leq k < 8$

(2) $k < -8$ または $k > 4$