整数 $n$ に対して、命題「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」を対偶を利用して証明します。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、命題「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」を対偶を利用して証明します。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^3 + 2n + 1$ は奇数である」です。

この対偶が真であることを証明します。

$n$ が偶数であるとき、$n = 2k$ （$k$ は整数）と表すことができます。

このとき、$n^3 + 2n + 1$ は次のようになります。

$n^3 + 2n + 1 = (2k)^3 + 2(2k) + 1$

$n^3 + 2n + 1 = 8k^3 + 4k + 1$

$n^3 + 2n + 1 = 2(4k^3 + 2k) + 1$

$4k^3 + 2k$ は整数なので、$n^3 + 2n + 1$ は「2 × 整数 + 1」の形であり、奇数です。

したがって、$n$ が偶数ならば、$n^3 + 2n + 1$ は奇数であるという対偶が真であることが証明されました。

対偶が真なので、元の命題「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」も真です。

3. 最終的な答え

$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。