与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int (3t^3 - 8t^2 + 2t + 8x^3) dt$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int (3t^3 - 8t^2 + 2t + 8x^3) dt$

2. 解き方の手順

積分は線形性を持つので、各項ごとに積分できます。$x$ は $t$ に関する積分において定数として扱われます。

まず、各項を個別に積分します。

$\int 3t^3 dt = 3 \int t^3 dt = 3 \cdot \frac{t^4}{4} = \frac{3}{4}t^4$

$\int -8t^2 dt = -8 \int t^2 dt = -8 \cdot \frac{t^3}{3} = -\frac{8}{3}t^3$

$\int 2t dt = 2 \int t dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} = t^2$

$\int 8x^3 dt = 8x^3 \int dt = 8x^3 t$

これらの結果を合計し、積分定数 $C$ を加えます。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}t^4 - \frac{8}{3}t^3 + t^2 + 8x^3 t + C$