$\int \sin(\log x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \sin(\log x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を2回適用します。

$u = \sin(\log x)$ と $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{\cos(\log x)}{x} dx$ と $v = x$ となります。したがって、

$\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - \int x \frac{\cos(\log x)}{x} dx = x \sin(\log x) - \int \cos(\log x) dx$

次に、$\int \cos(\log x) dx$ を計算します。$u = \cos(\log x)$ と $dv = dx$ とおくと、$du = -\frac{\sin(\log x)}{x} dx$ と $v = x$ となります。したがって、

$\int \cos(\log x) dx = x \cos(\log x) - \int x \left(-\frac{\sin(\log x)}{x}\right) dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$

これを最初の式に代入すると、

$\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - \left(x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx\right) = x \sin(\log x) - x \cos(\log x) - \int \sin(\log x) dx$

$\int \sin(\log x) dx$ を左辺に移項すると、

$2 \int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - x \cos(\log x)$

したがって、

$\int \sin(\log x) dx = \frac{1}{2} x \sin(\log x) - \frac{1}{2} x \cos(\log x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x(\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$