$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} \ge 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} \ge 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。

$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} + \frac{1}{2}\cos{x})$

ここで、$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin{\alpha} = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を考えると、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、

$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} = 2(\cos{\frac{\pi}{6}}\sin{x} + \sin{\frac{\pi}{6}}\cos{x}) = 2\sin{(x + \frac{\pi}{6})}$

与えられた不等式は

$2\sin{(x + \frac{\pi}{6})} \ge 1$

$\sin{(x + \frac{\pi}{6})} \ge \frac{1}{2}$

ここで、$t = x + \frac{\pi}{6}$ とおくと、$0 \le x < 2\pi$ より $\frac{\pi}{6} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ となります。

$\sin{t} \ge \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の範囲は、

$\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{5\pi}{6}$ または $2\pi + \frac{\pi}{6} > t \ge 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

したがって、$\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{13}{6}\pi > t \ge \frac{11\pi}{6}$.

ここで、$t = x + \frac{\pi}{6}$ を戻すと、

$\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$.

それぞれの範囲について $x$ を求めます。

$\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$ より $0 \le x \le \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

$\frac{11\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$ より $\frac{10\pi}{6} \le x < \frac{12\pi}{6}$, つまり $\frac{5\pi}{3} \le x < 2\pi$.

3. 最終的な答え

$0 \le x \le \frac{2\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3} \le x < 2\pi$