$n \geq 3$ とする。関数 $f(x) = x^2 \log x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。答えは共通因子でくくってきれいにまとめること。

1. 問題の内容

$n \geq 3$ とする。関数 $f(x) = x^2 \log x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。答えは共通因子でくくってきれいにまとめること。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。

$f(x) = x^2 \log x$

$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x$

$f''(x) = 2 \log x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2 \log x + 2 + 1 = 2 \log x + 3$

$f'''(x) = \frac{2}{x}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{2}{x^2}$

$f^{(5)}(x) = \frac{4}{x^3} = \frac{2 \cdot 2}{x^3}$

$f^{(6)}(x) = -\frac{12}{x^4} = -\frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{x^4}$

$n \geq 3$ のとき、一般的に $f^{(n)}(x) = C \cdot \frac{1}{x^{n-2}}$ の形になることが予想される。

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-3} \frac{2(n-3)!}{x^{n-2}}$ を数学的帰納法で示す。

$n=3$ のとき、$f'''(x) = (-1)^{3-3} \frac{2(3-3)!}{x^{3-2}} = \frac{2 \cdot 1}{x} = \frac{2}{x}$ で成立。

$n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = (-1)^{k-3} \frac{2(k-3)!}{x^{k-2}}$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \left( (-1)^{k-3} \frac{2(k-3)!}{x^{k-2}} \right) = (-1)^{k-3} 2(k-3)! \frac{d}{dx} (x^{-(k-2)})$

$= (-1)^{k-3} 2(k-3)! (-(k-2)) x^{-(k-1)} = (-1)^{k-2} 2(k-2)(k-3)! x^{-(k-1)}$

$= (-1)^{k-2} \frac{2(k-2)!}{x^{k-1}}$

よって、$n=k+1$ でも成立する。したがって、$n \geq 3$ のとき、

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-3} \frac{2(n-3)!}{x^{n-2}}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{2(-1)^{n-3}(n-3)!}{x^{n-2}}$