次の4つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^{\frac{1}{x^2}}$ (2) $\lim_{x \to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$ (3) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$ (4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$

はい、承知しました。与えられた問題の極限を計算します。

1. 問題の内容

次の4つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^{\frac{1}{x^2}}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$

(3) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$

(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^{\frac{1}{x^2}}$

まず、$\sin x$ のテイラー展開を考えます。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots$

与えられた極限を $L$ とすると、

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \log (\frac{\sin x}{x})$

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{\log (1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots)}{x^2}$

$\log(1+x)$ のテイラー展開は $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ なので、

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{( - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots ) - \frac{1}{2}( - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots )^2 + \dots}{x^2}$

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x^2}{6} + O(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{6}$

$L = e^{-1/6}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

与えられた極限を $L$ とすると、

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \log (\cosh x)$

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \dots)}{x^2}$

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{( \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \dots ) - \frac{1}{2}( \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \dots )^2 + \dots}{x^2}$

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} = \frac{1}{2}$

$L = e^{1/2} = \sqrt{e}$

(3) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$

与えられた極限を $L$ とすると、

$\log L = \lim_{x \to +0} \frac{1}{\log x} \log (\sin x)$

$\log L = \lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\log x}$

ここで、$x \to 0$ のとき、$\sin x \sim x$ であるから、

$\log L = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\log x} = 1$

$L = e^1 = e$

(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$

与えられた極限を $L$ とすると、

$\log L = \lim_{x \to +0} \sin x \log x$

$\log L = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{\sin x}}$

$x \to 0$ のとき、$\sin x \sim x$ であるから、

$\log L = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$

ここで、ロピタルの定理を使うと、

$\log L = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

$L = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $e^{-1/6}$

(2) $\sqrt{e}$

(3) $e$

(4) $1$