与えられた4つの関数について、凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める問題です。 (1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$ (2) $y = xe^{-x}$ (3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$) (4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める問題です。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

(2) $y = xe^{-x}$

(3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$)

(4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で凹凸を調べます。

1. 2階導関数 $y''$ を計算します。

2. $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。これが変曲点の候補となります。

3. $y''$ の符号の変化を調べます。$y'' > 0$ なら下に凸、$y'' < 0$ なら上に凸です。

4. 符号変化が起こる $x$ があれば、変曲点です。変曲点の $x$ 座標と元の関数から $y$ 座標を求めます。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

$y' = 4x^3 + 6x^2$

$y'' = 12x^2 + 12x = 12x(x+1)$

$y'' = 0$ となる $x$ は $x = 0, -1$

$x < -1$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

$-1 < x < 0$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

$x > 0$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

変曲点は $(-1, 0), (0, 1)$

(2) $y = xe^{-x}$

$y' = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

$y'' = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}$

$y'' = 0$ となる $x$ は $x = 2$

$x < 2$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

$x > 2$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

変曲点は $(2, 2e^{-2})$

(3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$)

$y' = 1 + \sin x$

$y'' = \cos x$

$y'' = 0$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{2}$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

変曲点は $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

(4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

$y' = -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4$

$y'' = -12x^2 + 24x - 12 = -12(x^2 - 2x + 1) = -12(x-1)^2$

$y'' = 0$ となる $x$ は $x = 1$

$x < 1$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

$x > 1$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

$y''$ の符号が変化しないので、変曲点はありません。

常に上に凸です。

3. 最終的な答え

(1) 下に凸: $x < -1, x > 0$, 上に凸: $-1 < x < 0$, 変曲点: $(-1, 0), (0, 1)$

(2) 上に凸: $x < 2$, 下に凸: $x > 2$, 変曲点: $(2, 2e^{-2})$

(3) 下に凸: $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 上に凸: $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, 変曲点: $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

(4) 上に凸: 全ての $x$, 変曲点: なし