次の関数の不定積分を求めます。 (1) $x(2x+1)^8$ (2) $\sin(3x+1)$ (3) $\frac{(\log x)^2}{x}$ (4) $\frac{e^x}{1+e^x}$ (5) $x \log x$ (6) $x \tan^{-1}x$ (7) $\frac{1}{x^2-2x-3}$ (8) $\frac{1}{x^4+1}$

はい、承知いたしました。画像の問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の関数の不定積分を求めます。

(1) $x(2x+1)^8$

(2) $\sin(3x+1)$

(3) $\frac{(\log x)^2}{x}$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$

(5) $x \log x$

(6) $x \tan^{-1}x$

(7) $\frac{1}{x^2-2x-3}$

(8) $\frac{1}{x^4+1}$

2. 解き方の手順

各問題について、解き方の手順を説明します。

(1) $x(2x+1)^8$

置換積分を行います。$u = 2x+1$ とすると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ であり、$x = \frac{u-1}{2}$ です。したがって、

$$\int x(2x+1)^8 dx = \int \frac{u-1}{2} u^8 \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int (u^9 - u^8) du$$

$$= \frac{1}{4} \left( \frac{u^{10}}{10} - \frac{u^9}{9} \right) + C = \frac{1}{40} (2x+1)^{10} - \frac{1}{36} (2x+1)^9 + C$$

(2) $\sin(3x+1)$

置換積分を行います。$u = 3x+1$ とすると、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}du$ です。したがって、

$$\int \sin(3x+1) dx = \int \sin(u) \frac{1}{3} du = -\frac{1}{3} \cos(u) + C = -\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$$

(3) $\frac{(\log x)^2}{x}$

置換積分を行います。$u = \log x$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$ です。したがって、

$$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$

置換積分を行います。$u = 1+e^x$ とすると、$du = e^x dx$ です。したがって、

$$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log (1+e^x) + C$$

ただし、$1+e^x > 0$ なので絶対値は不要です。

(5) $x \log x$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ です。したがって、

$$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$$

(6) $x \tan^{-1}x$

部分積分を行います。$u = \tan^{-1} x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ です。したがって、

$$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$$

ここで、$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2+1-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$ なので、

$$\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx = x - \tan^{-1} x + C$$

したがって、

$$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + C = \frac{x^2+1}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C$$

(7) $\frac{1}{x^2-2x-3}$

部分分数分解を行います。$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$ なので、

$$\frac{1}{x^2-2x-3} = \frac{1}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$$

とすると、$1 = A(x+1) + B(x-3)$ が成り立ちます。$x = 3$ のとき、$1 = 4A$ より $A = \frac{1}{4}$、$x = -1$ のとき、$1 = -4B$ より $B = -\frac{1}{4}$ です。したがって、

$$\int \frac{1}{x^2-2x-3} dx = \int \left( \frac{1/4}{x-3} - \frac{1/4}{x+1} \right) dx = \frac{1}{4} \log |x-3| - \frac{1}{4} \log |x+1| + C = \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-3}{x+1} \right| + C$$

(8) $\frac{1}{x^4+1}$

$\frac{1}{x^4+1} = \frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}$ と置く。整理すると、$A = \frac{1}{2\sqrt{2}}, B = \frac{1}{2}, C = -\frac{1}{2\sqrt{2}}, D=\frac{1}{2}$. よって、

$\int \frac{1}{x^4+1} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \int \frac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}dx -\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\frac{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}dx$

$=\frac{1}{4\sqrt{2}}log(\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}) + \frac{1}{2\sqrt{2}}arctan(\sqrt{2}x+1)+\frac{1}{2\sqrt{2}}arctan(\sqrt{2}x-1)+C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{40} (2x+1)^{10} - \frac{1}{36} (2x+1)^9 + C$

(2) $-\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\log (1+e^x) + C$

(5) $\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(6) $\frac{x^2+1}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C$

(7) $\frac{1}{4} \log \left| \frac{x-3}{x+1} \right| + C$

(8) $\frac{1}{4\sqrt{2}}log(\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}) + \frac{1}{2\sqrt{2}}arctan(\sqrt{2}x+1)+\frac{1}{2\sqrt{2}}arctan(\sqrt{2}x-1)+C$