与えられた複数の関数について、微分を計算する問題です。問題5.6から問題5.11まで、それぞれ複数の関数が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた複数の関数について、微分を計算する問題です。問題5.6から問題5.11まで、それぞれ複数の関数が与えられています。

2. 解き方の手順

各問題の関数について、適切な微分公式と計算手順を用いて微分を計算します。合成関数の微分、積の微分、商の微分、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数などの微分公式を適切に適用する必要があります。

例として、Q5.6(1) $y = \sqrt{x^2}$ の微分を計算してみます。

$y = \sqrt{x^2} = |x|$なので、$x > 0$なら$y = x$となり、$y' = 1$、$x < 0$なら$y = -x$となり、$y' = -1$です。

$x=0$では微分できません。

別の例として、Q5.7(1) $y = \log(2x+1)$ の微分を計算してみます。

対数関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

この場合、$u = 2x+1$ なので、$\frac{du}{dx} = 2$ となります。

したがって、

$$y' = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$$

3. 最終的な答え

すべての問題を解くのは大変なので、問題の解き方の手順を示した上で、上記にQ5.6(1)とQ5.7(1)の解を示しました。残りの問題も同様の手順で解くことができます。以下に他の問題の答えのみを列挙します。

Q5.6

(1) $y' = \frac{x}{|x|}$

(2) $y' = 18\sqrt{x^2} + \frac{6x^2}{\sqrt{x^2}}$

(3) $y' = 2\sqrt{x} + \frac{2x-3}{2\sqrt{x}}$

(4) $y' = -\frac{3x+2}{2x\sqrt{x}}$

(5) $y' = \frac{-4x}{3(2\sqrt[3]{x^2}+1)^2 \sqrt[3]{x}}$

(6) $y' = \frac{2 - x}{\sqrt{x+1}(x+1)}$

Q5.7

(1) $y' = \frac{2}{2x+1}$

(2) $y' = \frac{6x}{3x^2-1}$

(3) $y' = \log(5x+3) + \frac{5x}{5x+3}$

(4) $y' = \frac{1}{\sqrt{\log(2x-1)}} \frac{1}{2x-1}$

(5) $y' = \frac{1-2\log x}{x^3}$

(6) $y' = \frac{-1}{(log x + 1)^2 x}$

(7) $y' = \frac{2(1+log x)}{x}$

(8) $y' = \frac{1}{x(log(\sqrt{x^2+1}))}$

Q5.8

(1) $y' = 2e^{2x-3}$

(2) $y' = -\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}$

(3) $y' = -3e^{-x} (e^{-x}+2)^2$

(4) $y' = \frac{e^x - e^{-x}}{2\sqrt{e^x + e^{-x}}}$

(5) $y' = e^{1-x} - xe^{1-x}$

(6) $y' = \frac{2 e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$

(7) $y' = \frac{2 e^{2x}}{1+e^{2x}}$

(8) $y' = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$

Q5.9

(1) $y' = 2^x \log 2$

(2) $y' = (\frac{1}{5})^x \log \frac{1}{5}$

Q5.10

(1) $y' = 20 \cos 5x$

(2) $y' = \frac{1}{\cos^2 2x}$

(3) $y' = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

(4) $y' = 4 \tan x (1 + \tan^2 x)$

(5) $y' = \frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}$

(6) $y' = -12 \cos^2 4x \sin 4x$

(7) $y' = \frac{2 \cos 2x}{1 + \sin 2x}$

(8) $y' = - \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+\cos 2x}}$

(9) $y' = e^{-x} (- \sin 3x + 3 \cos 3x)$

Q5.11

(1) $y' = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$

(2) $y' = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}}$

(3) $y' = \frac{2}{1 + 4x^2}$

(4) $y' = \frac{4}{16 + x^2}$

(5) $y' = -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

(6) $y' = \frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

(7) $y' = 2x \arctan \frac{x}{2} + \frac{x^2}{1 + \frac{x^2}{4}}$

(8) $y' = \frac{\frac{x}{1+x^2} - \arctan x}{x^2}$