与えられた6つの不定積分を求めます。 (1) $\int \cos^{-1} x dx$ (2) $\int x^2 e^{-x} dx$ (3) $\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} dx$ (4) $\int x^2 \sin x dx$ (5) $\int (3x)^2 e^{-3x} dx$ (6) $\int \sin(\log x) dx$

はい、承知いたしました。それでは、与えられた6つの不定積分を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を求めます。

(1) $\int \cos^{-1} x dx$

(2) $\int x^2 e^{-x} dx$

(3) $\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} dx$

(4) $\int x^2 \sin x dx$

(5) $\int (3x)^2 e^{-3x} dx$

(6) $\int \sin(\log x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \cos^{-1} x dx$

部分積分を用います。$u = \cos^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, $v = x$ となります。

$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \int x \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) dx$

$= x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

ここで、$w = 1 - x^2$ と置換すると、$dw = -2x dx$ より $x dx = -\frac{1}{2} dw$ となります。

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{w}} dw = -\frac{1}{2} \int w^{-1/2} dw = -\frac{1}{2} \cdot 2 w^{1/2} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C$

よって、

$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2} + C$

(2) $\int x^2 e^{-x} dx$

部分積分を2回用います。

1回目：$u = x^2$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) (2x) dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$

2回目：$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$

よって、

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2(-x e^{-x} - e^{-x}) + C = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$

(3) $\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} dx$

平方完成します。$x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$

$\int \sqrt{(x + 1)^2 + 4} dx$

$x + 1 = 2 \sinh t$ と置換すると、$dx = 2 \cosh t dt$

$\int \sqrt{4 \sinh^2 t + 4} (2 \cosh t) dt = \int 2 \cosh t \cdot 2 \cosh t dt = 4 \int \cosh^2 t dt = 4 \int \frac{1 + \cosh(2t)}{2} dt = 2 \int (1 + \cosh(2t)) dt = 2 (t + \frac{1}{2} \sinh(2t)) + C = 2t + \sinh(2t) + C$

$\sinh(2t) = 2 \sinh t \cosh t = 2 \sinh t \sqrt{1 + \sinh^2 t} = 2 \cdot \frac{x+1}{2} \sqrt{1 + (\frac{x+1}{2})^2} = (x+1) \sqrt{1 + \frac{(x+1)^2}{4}} = (x+1) \sqrt{\frac{4 + (x+1)^2}{4}} = \frac{x+1}{2} \sqrt{x^2 + 2x + 5}$

$t = \sinh^{-1}(\frac{x+1}{2}) = \log((\frac{x+1}{2}) + \sqrt{(\frac{x+1}{2})^2 + 1}) = \log(\frac{x+1}{2} + \frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2})$

よって、$\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} dx = 2 \log(\frac{x+1}{2} + \frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2}) + \frac{x+1}{2} \sqrt{x^2 + 2x + 5} + C$

(4) $\int x^2 \sin x dx$

部分積分を2回用います。

1回目：$u = x^2$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x - \int (-\cos x) (2x) dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx$

2回目：$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

よって、

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

(5) $\int (3x)^2 e^{-3x} dx = 9 \int x^2 e^{-3x} dx$

$u = 3x$ と置換すると、$x = \frac{u}{3}$、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

$\int (3x)^2 e^{-3x} dx = 9 \int (\frac{u}{3})^2 e^{-u} \frac{1}{3} du = \int u^2 e^{-u} du = -e^{-u}(u^2 + 2u + 2) + C = -e^{-3x}((3x)^2 + 2(3x) + 2) + C = -e^{-3x}(9x^2 + 6x + 2) + C$

(6) $\int \sin(\log x) dx$

部分積分を2回用います。

$\int \sin(\log x) dx = \int 1 \cdot \sin(\log x) dx$

$u = \sin(\log x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{\cos(\log x)}{x} dx$, $v = x$

$\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - \int x \frac{\cos(\log x)}{x} dx = x \sin(\log x) - \int \cos(\log x) dx$

次に、$\int \cos(\log x) dx$ を求めます。

$u = \cos(\log x)$, $dv = dx$ とすると、$du = -\frac{\sin(\log x)}{x} dx$, $v = x$

$\int \cos(\log x) dx = x \cos(\log x) - \int x (-\frac{\sin(\log x)}{x}) dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$

よって、

$\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - (x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx) = x \sin(\log x) - x \cos(\log x) - \int \sin(\log x) dx$

$2 \int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - x \cos(\log x) + C$

$\int \sin(\log x) dx = \frac{x}{2} (\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2} + C$

(2) $\int x^2 e^{-x} dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$

(3) $\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} dx = \frac{x+1}{2} \sqrt{x^2 + 2x + 5} + 2 \sinh^{-1}(\frac{x+1}{2}) + C = \frac{x+1}{2} \sqrt{x^2 + 2x + 5} + 2 \log(\frac{x+1}{2} + \frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2})+C$

(4) $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

(5) $\int (3x)^2 e^{-3x} dx = -e^{-3x}(9x^2 + 6x + 2) + C$

(6) $\int \sin(\log x) dx = \frac{x}{2} (\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$