対数を用いて、$18^{50}$ の桁数を求める問題と、$(\frac{5}{9})^{100}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題の2つがあります。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$とします。

1. 問題の内容

対数を用いて、$18^{50}$ の桁数を求める問題と、$(\frac{5}{9})^{100}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題の2つがあります。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$とします。

2. 解き方の手順

(1) $18^{50}$ の桁数を求める

$log_{10}18^{50}$ を計算します。

$log_{10}18^{50} = 50 \times log_{10}18$

$log_{10}18 = log_{10}(2 \times 3^2) = log_{10}2 + 2log_{10}3$

$log_{10}18 = 0.3010 + 2 \times 0.4771 = 0.3010 + 0.9542 = 1.2552$

$log_{10}18^{50} = 50 \times 1.2552 = 62.76$

$10^{62} < 18^{50} < 10^{63}$

したがって、$18^{50}$ は63桁の整数です。

(2) $(\frac{5}{9})^{100}$ で小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める

$log_{10}(\frac{5}{9})^{100}$ を計算します。

$log_{10}(\frac{5}{9})^{100} = 100 \times log_{10}(\frac{5}{9})$

$log_{10}\frac{5}{9} = log_{10}5 - log_{10}9 = log_{10}(\frac{10}{2}) - log_{10}3^2 = log_{10}10 - log_{10}2 - 2log_{10}3$

$log_{10}\frac{5}{9} = 1 - 0.3010 - 2 \times 0.4771 = 1 - 0.3010 - 0.9542 = 1 - 1.2552 = -0.2552$

$log_{10}(\frac{5}{9})^{100} = 100 \times (-0.2552) = -25.52$

ここで、 $log_{10}x = -25.52 = -26 + 0.48$

$x = 10^{-26 + 0.48} = 10^{-26} \times 10^{0.48}$

$10^{0.48}$ は 1 と 10 の間の数なので、$\frac{5}{9}^{100}$ は小数第26位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

(1) 63桁

(2) 小数第26位