$\sqrt{\frac{28n}{5}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さい数を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{28n}{5}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さい数を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{28n}{5}}$ が整数となるためには、$\frac{28n}{5}$ がある整数の2乗でなければならない。

$28$ を素因数分解すると $28 = 2^2 \times 7$ である。

したがって、

$\frac{28n}{5} = \frac{2^2 \times 7 \times n}{5}$

が整数の2乗となる必要がある。

そのためには、分子の素因数に $5$ と $7$ が含まれている必要がある。したがって、

$n = 5 \times 7 \times k^2$ (kは自然数)

の形になる必要がある。$n$ が最も小さい自然数になるのは $k=1$ のときである。

したがって、$n = 5 \times 7 = 35$ となる。

このとき、

$\frac{28n}{5} = \frac{2^2 \times 7 \times (5 \times 7)}{5} = 2^2 \times 7^2 = (2 \times 7)^2 = 14^2$

$\sqrt{\frac{28n}{5}} = \sqrt{14^2} = 14$

となり、整数となる。

3. 最終的な答え

35