全体集合 $U$ を 10 以下の自然数全体の集合とし、部分集合 $A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$、$B = \{4, 6, 7, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合の要素の個数を求める問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を 10 以下の自然数全体の集合とし、部分集合 $A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$、$B = \{4, 6, 7, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合の要素の個数を求める問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分です。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。$A$ と $B$ の要素を比較して、共通の要素を見つけます。

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合です。つまり、$A$ または $B$ に含まれる要素を集めた集合です。$A$ と $B$ の要素をすべて集め、重複する要素は一つだけ数えます。

(3) $\overline{B}$ は、$B$ の補集合です。つまり、全体集合 $U$ に含まれる要素のうち、$B$ に含まれない要素を集めた集合です。まず、$U$ を書き出し、$B$ の要素を除いたものが $\overline{B}$ となります。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(1) $A \cap B = \{4, 7\}$

$n(A \cap B) = 2$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

$n(A \cup B) = 7$

(3) $\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 5, 8, 10\}$

$n(\overline{B}) = 6$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 2$

(2) $n(A \cup B) = 7$

(3) $n(\overline{B}) = 6$