大小3個のサイコロを投げて、出た目の数をそれぞれ$a$, $b$, $c$とするとき、$a \le b \le c$となる場合の数を求めよ。

1. 問題の内容

大小3個のサイコロを投げて、出た目の数をそれぞれ$a$, $b$, $c$とするとき、$a \le b \le c$となる場合の数を求めよ。

2. 解き方の手順

$a$, $b$, $c$は1から6までの整数である。$a \le b \le c$を満たす整数の組$(a, b, c)$の個数を求める。

これは、1から6までの整数から重複を許して3つ選ぶ組み合わせの数と等しい。

言い換えると、$x_i$を$i$の個数（$i=1,2,3,4,5,6$）とすると、

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 3$

を満たす非負整数の組$(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)$の個数を求めればよい。

これは、3個の○と5個の仕切り|を並べる順列の数に等しい。

つまり、全部で8個のものから○の位置3個を選ぶ組み合わせの数に等しい。

したがって、

$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

3. 最終的な答え

56通り