与えられた条件 $F'(x) = 2x - 2$ と $F(2) = 1$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分不定積分微分関数積分定数
2025/3/27

1. 問題の内容

与えられた条件 F(x)=2x2F'(x) = 2x - 2F(2)=1F(2) = 1 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=2x2F'(x) = 2x - 2 の不定積分は
F(x)=(2x2)dx=x22x+CF(x) = \int (2x - 2) dx = x^2 - 2x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、F(2)=1F(2) = 1 という条件を使って積分定数 CC の値を求めます。
F(x)=x22x+CF(x) = x^2 - 2x + Cx=2x = 2 を代入すると、
F(2)=222(2)+C=44+C=CF(2) = 2^2 - 2(2) + C = 4 - 4 + C = C
F(2)=1F(2) = 1 であるから、C=1C = 1 となります。
したがって、F(x)=x22x+1F(x) = x^2 - 2x + 1 となります。

3. 最終的な答え

F(x)=x22x+1F(x) = x^2 - 2x + 1

「解析学」の関連問題

$\cos \frac{17}{3} \pi$ の値を求める問題です。

三角関数cos角度変換偶関数
2025/7/2

与えられた級数の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k}$ を求めます。

級数等比数列シグマ
2025/7/2

定数 $p$ と2つの関数 $f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ が与えられています。$f'(p) = g'(\frac{...

微分積分面積関数のグラフ定積分
2025/7/2

$A = \sin^{-1}(\frac{1}{4})$、 $B = \sin^{-1}(\frac{2}{5})$と置いたとき、$\cos A$と$\cos B$の値を求める問題です。

三角関数逆三角関数三角関数の性質
2025/7/2

関数 $\frac{1}{1 - \sin(x^2)}$ のマクローリン展開を $x^6$ の項まで求める。

マクローリン展開三角関数テイラー展開級数
2025/7/2

与えられた条件のもとで、関数の極値を求める問題です。 (1) $x^2 + y^2 - 8 = 0$ のとき、$x+y$ の極値を求めます。 (2) $xy - 1 = 0$ のとき、$x^2 + y...

極値ラグランジュの未定乗数法多変数関数
2025/7/2

$2x - y - x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

陰関数極値微分法二階微分
2025/7/2

次の5つの関数の極値を求める問題です。 (1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$ (2) $f(x, y) = xy(2 - x - y)$ (3) $f(x, ...

多変数関数極値偏微分ヘッセ行列
2025/7/2

与えられた3つの曲線について、それぞれの特異点を求める問題です。特異点とは、曲線上の点で、その点における偏微分が両方とも0になる点のことです。

偏微分特異点曲線多変数関数
2025/7/2

与えられた陰関数 $y=f(x)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。以下の3つの式について計算します。 (1) $x^2 + xy - y^2 = 1$ (2) $x^3 ...

陰関数微分導関数連鎖律
2025/7/2