導関数 $F'(x) = -4x + 5$ と $F(1) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x) = -4x + 5$ と $F(1) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: $F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$F'(x) = -4x + 5$ の不定積分は、

$$F(x) = \int F'(x) dx = \int (-4x + 5) dx = -2x^2 + 5x + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

ステップ2: $F(1) = 6$ の条件を使って積分定数 $C$ を求めます。

$F(x) = -2x^2 + 5x + C$ に $x = 1$ を代入すると、

$$F(1) = -2(1)^2 + 5(1) + C = -2 + 5 + C = 3 + C$$

$F(1) = 6$ なので、

$$3 + C = 6$$

$$C = 6 - 3 = 3$$

ステップ3: 積分定数 $C$ を $F(x)$ に代入して最終的な関数を求めます。

$C = 3$ を $F(x) = -2x^2 + 5x + C$ に代入すると、

$$F(x) = -2x^2 + 5x + 3$$

3. 最終的な答え

$F(x) = -2x^2 + 5x + 3$