導関数 $F'(x) = -4x + 5$ と $F(1) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求めます。

解析学積分導関数不定積分積分定数関数
2025/3/27

1. 問題の内容

導関数 F(x)=4x+5F'(x) = -4x + 5F(1)=6F(1) = 6 を満たす関数 F(x)F(x) を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: F(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=4x+5F'(x) = -4x + 5 の不定積分は、
F(x)=F(x)dx=(4x+5)dx=2x2+5x+CF(x) = \int F'(x) dx = \int (-4x + 5) dx = -2x^2 + 5x + C
ここで、CC は積分定数です。
ステップ2: F(1)=6F(1) = 6 の条件を使って積分定数 CC を求めます。
F(x)=2x2+5x+CF(x) = -2x^2 + 5x + Cx=1x = 1 を代入すると、
F(1)=2(1)2+5(1)+C=2+5+C=3+CF(1) = -2(1)^2 + 5(1) + C = -2 + 5 + C = 3 + C
F(1)=6F(1) = 6 なので、
3+C=63 + C = 6
C=63=3C = 6 - 3 = 3
ステップ3: 積分定数 CCF(x)F(x) に代入して最終的な関数を求めます。
C=3C = 3F(x)=2x2+5x+CF(x) = -2x^2 + 5x + C に代入すると、
F(x)=2x2+5x+3F(x) = -2x^2 + 5x + 3

3. 最終的な答え

F(x)=2x2+5x+3F(x) = -2x^2 + 5x + 3

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