問題は、「$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m$, $n$ の少なくとも一方は奇数である」という命題が真であることを証明せよ、というものです。

1. 問題の内容

問題は、「$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m$, $n$ の少なくとも一方は奇数である」という命題が真であることを証明せよ、というものです。

2. 解き方の手順

この命題を証明するために、対偶を証明します。

元の命題の対偶は「$m$ と $n$ がともに偶数ならば、$m^2 + n^2$ は偶数である」となります。

$m$ と $n$ がともに偶数であると仮定します。

このとき、$m = 2k$、$n = 2l$ （$k, l$ は整数）と表すことができます。

したがって、$m^2 = (2k)^2 = 4k^2$、$n^2 = (2l)^2 = 4l^2$ となります。

$m^2 + n^2 = 4k^2 + 4l^2 = 4(k^2 + l^2)$

ここで、$k^2 + l^2$ は整数なので、$4(k^2 + l^2)$ は4の倍数であり、特に偶数です。

したがって、$m^2 + n^2$ は偶数です。

よって、$m$ と $n$ がともに偶数ならば、$m^2 + n^2$ は偶数であるという対偶が証明されました。

対偶が真であることから、元の命題「$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m$, $n$ の少なくとも一方は奇数である」も真です。

3. 最終的な答え

$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m$, $n$ の少なくとも一方は奇数である。