$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。

まず、$3\sqrt{2}$ が無理数でない、つまり有理数であると仮定する。

すると、$3\sqrt{2} = r$ となる有理数 $r$ が存在する。

両辺を3で割ると、

$\sqrt{2} = \frac{r}{3}$

$r$ は有理数なので、$r/3$ も有理数である。

これは、「$\sqrt{2}$が無理数である」という仮定に矛盾する。

したがって、$3\sqrt{2}$ は有理数であるという仮定が誤りであり、$3\sqrt{2}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2}$ は無理数である。