与えられた積分の計算問題を解きます。 積分は $\int \frac{1}{\sqrt{2x+x-x^2}}dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の計算問題を解きます。

積分は $\int \frac{1}{\sqrt{2x+x-x^2}}dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中の式を平方完成します。

$2x + x - x^2 = -(x^2 -x -2) = -(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 2) = -((x-\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}) = \frac{9}{4} - (x-\frac{1}{2})^2$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4} - (x-\frac{1}{2})^2}} dx$

ここで、$x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\sin\theta$ と置換すると、$dx = \frac{3}{2}\cos\theta d\theta$ となります。

積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{9}{4}\sin^2\theta}} \cdot \frac{3}{2}\cos\theta d\theta = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}(1-\sin^2\theta)}} \cdot \frac{3}{2}\cos\theta d\theta = \int \frac{1}{\frac{3}{2}\cos\theta} \cdot \frac{3}{2}\cos\theta d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

ここで、$\sin\theta = \frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2x - 1}{3}$

$\theta = \arcsin(\frac{2x-1}{3})$

したがって、積分は

$\arcsin(\frac{2x-1}{3}) + C$

3. 最終的な答え

$\arcsin(\frac{2x-1}{3}) + C$