与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。 $\int \frac{1}{x\sqrt{2 + x - x^2}} dx$

## 回答

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。

$\int \frac{1}{x\sqrt{2 + x - x^2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$2+x-x^2$ を平方完成します。

$2+x-x^2 = 2 - (x^2 - x) = 2 - (x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 2 + \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$

次に、積分を次のように書き換えます。

$\int \frac{1}{x\sqrt{\frac{9}{4} - (x-\frac{1}{2})^2}} dx$

ここで、変数変換 $x = \frac{3}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}$ を行います。

このとき、 $dx = \frac{3}{2}\cos\theta d\theta$ であり、

$\frac{9}{4} - (x-\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - (\frac{3}{2}\sin\theta)^2 = \frac{9}{4}(1 - \sin^2\theta) = \frac{9}{4}\cos^2\theta$

$\sqrt{\frac{9}{4} - (x-\frac{1}{2})^2} = \frac{3}{2}\cos\theta$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\frac{3}{2}\cos\theta}{(\frac{3}{2}\sin\theta + \frac{1}{2})\frac{3}{2}\cos\theta} d\theta = \int \frac{1}{\frac{3}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}} d\theta = \int \frac{2}{3\sin\theta + 1} d\theta$

ここで、さらに変数変換 $t = \tan(\frac{\theta}{2})$ を行います。

$\sin\theta = \frac{2t}{1+t^2}$, $d\theta = \frac{2}{1+t^2} dt$

よって、

$\int \frac{2}{3\sin\theta + 1} d\theta = \int \frac{2}{3(\frac{2t}{1+t^2}) + 1} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{4}{6t + 1+t^2} dt = \int \frac{4}{t^2 + 6t + 1} dt$

$t^2 + 6t + 1 = (t+3)^2 - 8$ なので、

$\int \frac{4}{(t+3)^2 - 8} dt = 4 \int \frac{1}{(t+3)^2 - (2\sqrt{2})^2} dt = 4 \cdot \frac{1}{2(2\sqrt{2})} \ln|\frac{t+3-2\sqrt{2}}{t+3+2\sqrt{2}}| + C = \frac{1}{\sqrt{2}}\ln|\frac{t+3-2\sqrt{2}}{t+3+2\sqrt{2}}| + C$

$t = \tan(\frac{\theta}{2})$ なので、

$\frac{1}{\sqrt{2}}\ln|\frac{\tan(\frac{\theta}{2})+3-2\sqrt{2}}{\tan(\frac{\theta}{2})+3+2\sqrt{2}}| + C$

$\sin\theta = \frac{2x-1}{3}$ なので、$\theta = \arcsin(\frac{2x-1}{3})$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\ln|\frac{\tan(\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x-1}{3}))+3-2\sqrt{2}}{\tan(\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x-1}{3}))+3+2\sqrt{2}}| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{2}}\ln|\frac{\tan(\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x-1}{3}))+3-2\sqrt{2}}{\tan(\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x-1}{3}))+3+2\sqrt{2}}| + C$