20人の生徒から4人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは何通りあるか求める。

1. 問題の内容

20人の生徒から4人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは何通りあるか求める。

2. 解き方の手順

まず、20人から4人を選ぶすべての組み合わせを計算する。

次に、X君とY君がともに選ばれる組み合わせの数を計算する。

最後に、すべての組み合わせからX君とY君がともに選ばれる組み合わせの数を引くことで、X君とY君がともに選ばれない組み合わせの数を求める。

* 20人から4人を選ぶすべての組み合わせは、組み合わせの公式を用いて計算できる。

$_{20}C_4 = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$

* X君とY君がともに選ばれる組み合わせの数は、残りの18人から2人を選ぶ組み合わせの数に等しい。

$_{18}C_2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2!16!} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153$

* X君とY君がともに選ばれない組み合わせの数は、すべての組み合わせからX君とY君がともに選ばれる組み合わせの数を引いたものになる。

ただし、X君だけが選ばれる場合、Y君だけが選ばれる場合、X君もY君も選ばれない場合をそれぞれ考えなければならない。

ここでは、X君とY君がともに選ばれない組み合わせを求めるため、全体からX君とY君がともに選ばれる場合を引く、という方法で進める。

X君とY君がともに選ばれない、ということは、X君だけが選ばれるか、Y君だけが選ばれるか、あるいはX君もY君も選ばれない、という状況を表している。

全体から、X君とY君がともに選ばれる場合を引くことで、これらの状況を考慮したことになる。

ただし、問題文をよく読むと、「X君とY君がともに選ばれない組み合わせ」とあるので、X君が選ばれても良いし、Y君が選ばれても良いということになる。

したがって、答えは $4845 - 153 = 4692$ となる。

3. 最終的な答え

4692通り