15人の生徒の中から3人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

15人の生徒の中から3人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、15人から3人を選ぶすべての組み合わせを計算します。これは、組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。この場合、$n=15$ で $r=3$ なので、

$$_{15}C_3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$$

次に、X君とY君がともに選ばれる組み合わせの数を計算します。X君とY君が選ばれるので、残りの1人は13人（15人からX君とY君を除く）から選ぶことになります。したがって、組み合わせの数は $_{13}C_1 = 13$通りです。

X君とY君がともに選ばれない組み合わせの数は、すべての組み合わせからX君とY君がともに選ばれる組み合わせの数を引くことで求められます。

したがって、求める組み合わせの数は $455 - 13 = 442$ 通りです。

または、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは、次の3つの場合に分けられます。

(i) X君が選ばれてY君が選ばれない場合: X君が選ばれるので、残り2人は13人（Y君とX君以外）から選ぶ。

$_{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ 通り。

(ii) Y君が選ばれてX君が選ばれない場合: Y君が選ばれるので、残り2人は13人（X君とY君以外）から選ぶ。

$_{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ 通り。

(iii) X君もY君も選ばれない場合: 3人は13人（X君とY君以外）から選ぶ。

$_{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$ 通り。

したがって、求める組み合わせの数は $78+78+286 = 442$ 通りです。

3. 最終的な答え

442 通り