ある町の天気が晴れる確率は2割（0.2）である。この町を400日間観測したとき、100日以上晴れである確率を求める。ただし、確率変数$Z$が標準正規分布$N(0, 1)$に従うとき、$P(0 \le Z \le 2.50) = 0.4938$とする。

1. 問題の内容

ある町の天気が晴れる確率は2割（0.2）である。この町を400日間観測したとき、100日以上晴れである確率を求める。ただし、確率変数$Z$が標準正規分布$N(0, 1)$に従うとき、$P(0 \le Z \le 2.50) = 0.4938$とする。

2. 解き方の手順

この問題は、二項分布を正規分布で近似して解く。

(1) 晴れる日数の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を計算する。

晴れる確率$p = 0.2$, 観測日数$n = 400$なので、

期待値 $E(X) = np = 400 \times 0.2 = 80$

分散 $V(X) = np(1-p) = 400 \times 0.2 \times (1-0.2) = 400 \times 0.2 \times 0.8 = 64$

標準偏差 $\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{64} = 8$

(2) 正規分布による近似を行う。

$X$を晴れの日数とすると、$X$は近似的に正規分布$N(80, 64)$に従う。

求めたいのは$P(X \ge 100)$である。

連続修正を行うと、$P(X \ge 99.5)$となる。

(3) 標準化を行う。

$Z = \frac{X - E(X)}{\sigma} = \frac{X - 80}{8}$

$P(X \ge 99.5) = P(Z \ge \frac{99.5 - 80}{8}) = P(Z \ge \frac{19.5}{8}) = P(Z \ge 2.4375)$

(4) 標準正規分布表を用いて確率を計算する。

$P(Z \ge 2.4375) = 0.5 - P(0 \le Z \le 2.4375)$

$P(0 \le Z \le 2.4375)$は、$P(0 \le Z \le 2.50)$に近いので、近似的に0.4938とする。

$P(Z \ge 2.4375) \approx 0.5 - 0.4938 = 0.0062$

3. 最終的な答え

求める確率は約0.0062。