## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた奇数の列を、{1}, {3, 5, 7}, {9, 11, 13, 15, 17}, ... のように群に区切ったとき、以下の2つの問題を解きます。

(1) 第n群の最初の数を求めます。

(2) 第n群の和を求めます。

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2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。

まず、各群に含まれる奇数の個数を調べます。第1群は1個、第2群は3個、第3群は5個、第4群は7個,... となっています。つまり、第n群には(2n - 1)個の奇数が含まれています。

次に、第n群の最初の数が、全体の奇数列の中で何番目の奇数であるかを考えます。第n群の最初の数は、第(n-1)群までの奇数の個数の合計に1を加えたものになります。第(n-1)群までの奇数の個数の合計をS(n-1)とすると、

$S(n-1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2(n-1) - 1)$

これは、初項1、末項$(2(n-1) - 1)$、項数$(n-1)$の等差数列の和なので、

$S(n-1) = \frac{(n-1)(1 + 2(n-1) - 1)}{2} = \frac{(n-1)(2n - 2)}{2} = (n-1)^2$

したがって、第n群の最初の数は、全体の奇数列の中で$((n-1)^2 + 1)$番目の奇数となります。奇数列は公差2の等差数列なので、一般項は $2k-1$ (kは項の番号)で表されます。したがって、第n群の最初の数は、

$2((n-1)^2 + 1) - 1 = 2(n^2 - 2n + 1 + 1) - 1 = 2n^2 - 4n + 4 - 1 = 2n^2 - 4n + 3$

(2) 第n群の和を求める。

第n群は、最初の数が $2n^2 - 4n + 3$、項数が $(2n - 1)$ の等差数列です。等差数列の和の公式は、

$S = \frac{項数(初項 + 末項)}{2}$

末項を求めるために、第n群の末項は、全体の奇数列の中で何番目の奇数であるかを考えます。それは、$S(n-1) + (2n-1) = (n-1)^2 + (2n-1)$番目の奇数です。したがって末項は、

$2((n-1)^2 + (2n-1)) - 1 = 2(n^2 - 2n + 1 + 2n - 1) - 1 = 2n^2 - 1$

第n群の和は、

$S_n = \frac{(2n - 1)((2n^2 - 4n + 3) + (2n^2 - 1))}{2} = \frac{(2n - 1)(4n^2 - 4n + 2)}{2} = (2n - 1)(2n^2 - 2n + 1) = 4n^3 - 4n^2 + 2n - 2n^2 + 2n - 1 = 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$

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3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の数: $2n^2 - 4n + 3$

(2) 第n群の和: $4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$