正の奇数の列を、第$n$群に$(2n-1)$個の数が入るように群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表す。 (2) 第$n$群に入るすべての数の和を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第$n$群に$(2n-1)$個の数が入るように群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表す。

(2) 第$n$群に入るすべての数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

第$n$群の最初の数は、第$(n-1)$群までの項数の和に1を加えたものが、奇数列の何番目になるかを表す。

第$k$群の項数は$2k-1$であるから、第$(n-1)$群までの項数の和は、

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = (n-1)^2$

よって、第$n$群の最初の数は、奇数列の$(n-1)^2 + 1$番目の数である。

奇数列の一般項は$2m-1$なので、$(n-1)^2 + 1$番目の奇数は、

$2((n-1)^2 + 1) - 1 = 2(n-1)^2 + 2 - 1 = 2(n^2 - 2n + 1) + 1 = 2n^2 - 4n + 2 + 1 = 2n^2 - 4n + 3$

(2) 第$n$群に入るすべての数の和を求める。

第$n$群には$2n-1$個の数が入る。第$n$群の最初の数は$2n^2 - 4n + 3$である。

奇数列なので、公差は2である。したがって、第$n$群の最後の数は、

$(2n^2 - 4n + 3) + 2(2n - 1 - 1) = 2n^2 - 4n + 3 + 2(2n - 2) = 2n^2 - 4n + 3 + 4n - 4 = 2n^2 - 1$

第$n$群の数の和は、等差数列の和の公式より、

$\frac{(2n-1)((2n^2 - 4n + 3) + (2n^2 - 1))}{2} = \frac{(2n-1)(4n^2 - 4n + 2)}{2} = (2n-1)(2n^2 - 2n + 1) = 4n^3 - 4n^2 + 2n - 2n^2 + 2n - 1 = 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の数: $2n^2 - 4n + 3$

(2) 第$n$群に入るすべての数の和: $4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$