2つの問題があります。 問題4：2次方程式 $x^2 + 7x + 5 = 0$ の実数解の個数を求めよ。 問題5：2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ が $x$軸の正の部分と異なる2つの共有点を持つときの $m$ の条件を求めよ。

1. 問題の内容

2つの問題があります。

問題4：2次方程式 $x^2 + 7x + 5 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

問題5：2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ が $x$軸の正の部分と異なる2つの共有点を持つときの $m$ の条件を求めよ。

2. 解き方の手順

問題4：

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の実数解の個数は判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって決まります。

$D > 0$ ならば実数解は2個、

$D = 0$ ならば実数解は1個、

$D < 0$ ならば実数解は0個です。

この問題では、$a=1, b=7, c=5$ なので、判別式は

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 49 - 20 = 29$

$D > 0$ なので、実数解は2個です。

問題5：

2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ が $x$軸の正の部分と異なる2つの共有点を持つための条件は、次の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸 $x > 0$

(3) $y$切片 $y > 0$

まず、判別式 $D$ を求めます。

$D = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m - 2)(m + 1)$

(1) $D > 0$ より、 $4(m - 2)(m + 1) > 0$。つまり、 $(m - 2)(m + 1) > 0$。

したがって、$m < -1$ または $m > 2$。

(2) 軸は $x = -\frac{-2m}{2 \cdot 1} = m$ なので、$m > 0$。

(3) $y$切片は $x=0$ のときの $y$ の値なので、$y = 0^2 - 2m \cdot 0 + m + 2 = m + 2$。

$m + 2 > 0$ より、$m > -2$。

(1), (2), (3) をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -1$ または $m > 2$ かつ $m > 0$ かつ $m > -2$。

したがって、$m > 2$。

3. 最終的な答え

問題4：実数解の個数は 2 個

問題5：m > 2