2次方程式 $x^2 + 2ax - a + 2 = 0$ が与えられています。 この方程式が、 (1) 異なる2つの正の解を持つとき、 (2) 異なる2つの負の解を持つとき、 (3) 正の解と負の解を持つとき、 それぞれの場合について、実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2ax - a + 2 = 0$ が与えられています。

この方程式が、

(1) 異なる2つの正の解を持つとき、

(2) 異なる2つの負の解を持つとき、

(3) 正の解と負の解を持つとき、

それぞれの場合について、実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件です。また、解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2a$, $\alpha \beta = -a + 2$ が成り立ちます。

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合

$D > 0$, $\alpha + \beta > 0$, $\alpha \beta > 0$ が必要十分条件です。

判別式 $D/4 = a^2 - (-a + 2) = a^2 + a - 2 = (a + 2)(a - 1) > 0$ より、$a < -2$ または $a > 1$。

$\alpha + \beta = -2a > 0$ より、$a < 0$。

$\alpha \beta = -a + 2 > 0$ より、$a < 2$。

これら3つの条件を満たす範囲は、$a < -2$。

(2) 異なる2つの負の解を持つ場合

$D > 0$, $\alpha + \beta < 0$, $\alpha \beta > 0$ が必要十分条件です。

$D/4 = a^2 + a - 2 > 0$ より、$a < -2$ または $a > 1$。

$\alpha + \beta = -2a < 0$ より、$a > 0$。

$\alpha \beta = -a + 2 > 0$ より、$a < 2$。

これら3つの条件を満たす範囲は、$1 < a < 2$。

(3) 正の解と負の解を持つ場合

$\alpha \beta < 0$ が必要十分条件です。

$\alpha \beta = -a + 2 < 0$ より、$a > 2$。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの正の解を持つとき： $a < -2$

(2) 異なる2つの負の解を持つとき： $1 < a < 2$

(3) 正の解と負の解を持つとき： $a > 2$