$x, y$ が次の4つの不等式を満たすとき、$x - 4y$ の最大値および最小値を求める問題です。 $x \geq 0$ $y \geq 0$ $x - 2y + 8 \geq 0$ $3x + y - 18 \leq 0$

1. 問題の内容

$x, y$ が次の4つの不等式を満たすとき、$x - 4y$ の最大値および最小値を求める問題です。

$x \geq 0$

$y \geq 0$

$x - 2y + 8 \geq 0$

$3x + y - 18 \leq 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を連立させて、領域を図示します。

(1) $x \geq 0$

(2) $y \geq 0$

(3) $x - 2y + 8 \geq 0 \Rightarrow y \leq \frac{1}{2}x + 4$

(4) $3x + y - 18 \leq 0 \Rightarrow y \leq -3x + 18$

これらの不等式を満たす領域は、四角形になります。

頂点の座標を求めます。

(a) $x = 0, y = 0$ より、$(0, 0)$

(b) $x = 0, y = \frac{1}{2}x + 4$ より、$(0, 4)$

(c) $\frac{1}{2}x + 4 = -3x + 18$ を解くと、$\frac{7}{2}x = 14 \Rightarrow x = 4$。このとき、$y = -3(4) + 18 = 6$。よって、$(4, 6)$

(d) $y = 0, y = -3x + 18$ より、$-3x + 18 = 0 \Rightarrow x = 6$。よって、$(6, 0)$

したがって、領域の頂点は $(0, 0), (0, 4), (4, 6), (6, 0)$ です。

次に、$x - 4y$ の値を各頂点で計算します。

(a) $(0, 0)$ のとき、$x - 4y = 0 - 4(0) = 0$

(b) $(0, 4)$ のとき、$x - 4y = 0 - 4(4) = -16$

(c) $(4, 6)$ のとき、$x - 4y = 4 - 4(6) = 4 - 24 = -20$

(d) $(6, 0)$ のとき、$x - 4y = 6 - 4(0) = 6$

したがって、最大値は 6、最小値は -20 となります。

3. 最終的な答え

最大値: 6

最小値: -20