$x^2 = i$ を満たす複素数 $x$ を求める問題です。ここで、$i$ は虚数単位を表します。

1. 問題の内容

$x^2 = i$ を満たす複素数 $x$ を求める問題です。ここで、$i$ は虚数単位を表します。

2. 解き方の手順

複素数 $x$ を $x = a + bi$ （$a, b$ は実数）と表します。

すると、$x^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$ となります。

これが $i$ に等しいので、

$a^2 - b^2 = 0$

$2ab = 1$

という連立方程式を得ます。

最初の式 $a^2 - b^2 = 0$ から、$a^2 = b^2$ なので、$a = b$ または $a = -b$ です。

$a = b$ の場合、2番目の式 $2ab = 1$ に代入すると、$2a^2 = 1$ となり、$a^2 = \frac{1}{2}$ なので、$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$a = b$ なので、$x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ または $x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$ となります。

$a = -b$ の場合、2番目の式 $2ab = 1$ に代入すると、$2a(-a) = 1$ となり、$-2a^2 = 1$ となります。

しかし、$a$ は実数なので、$a^2$ は非負であり、$-2a^2 = 1$ を満たす実数 $a$ は存在しません。

したがって、$x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ または $x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$ です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$