10項からなる数列 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ と $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024$ があり、これらの数列の項の積を太枠の中に記入した表がある。 (1) 太枠内の一番上に現れる数の和 $4+8+\cdots+40$ を求める。 (2) 太枠内の一番左に現れる数の和 $4+8+\cdots+2048$ を求める。 (3) 太枠内に現れるすべての数の和を求める。 (4) 太枠内の左上から右下に向かう対角線の部分に現れる数の和を $S$ とすると、与えられた式 $S - 2S = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + 2 \cdot 2^\text{セン} - 20 \cdot 2^\text{タチ}$ が成り立つので、$S$ を求める。

1. 問題の内容

10項からなる数列 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ と $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024$ があり、これらの数列の項の積を太枠の中に記入した表がある。

(1) 太枠内の一番上に現れる数の和 $4+8+\cdots+40$ を求める。

(2) 太枠内の一番左に現れる数の和 $4+8+\cdots+2048$ を求める。

(3) 太枠内に現れるすべての数の和を求める。

(4) 太枠内の左上から右下に向かう対角線の部分に現れる数の和を $S$ とすると、与えられた式 $S - 2S = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + 2 \cdot 2^\text{セン} - 20 \cdot 2^\text{タチ}$ が成り立つので、$S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 太枠の一番上に現れる数は、数列 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ の各項と数列 $2$ の積である。したがって、求める和は

$4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 = 2(2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20) = 2 \cdot \frac{10(2 + 20)}{2} = 2 \cdot 110 = 220$

(2) 太枠の一番左に現れる数は、数列 $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024$ の各項と数列 $2$ の積である。したがって、求める和は

$4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 = 2(2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024)$

これは初項 $2$, 公比 $2$, 項数 $10$ の等比数列の和なので

$2 \cdot \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 4(1024 - 1) = 4 \cdot 1023 = 4092$

(3) 太枠内に現れるすべての数の和は、数列 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ の和と数列 $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024$ の和の積である。

数列 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ の和は $\frac{10(2 + 20)}{2} = 110$

数列 $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024$ の和は $\frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2(1024 - 1) = 2046$

したがって、太枠内に現れるすべての数の和は $110 \cdot 2046 = 225060$

(4) 対角線に現れる数の和 $S$ は

$S = 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 6 \cdot 8 + 8 \cdot 16 + 10 \cdot 32 + 12 \cdot 64 + 14 \cdot 128 + 16 \cdot 256 + 18 \cdot 512 + 20 \cdot 1024$

$S = 4 + 16 + 48 + 128 + 320 + 768 + 1792 + 4096 + 9216 + 20480 = 36868$

与えられた式は

$S - 2S = -S = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + 2 \cdot 2^9 - 20 \cdot 2^{10}$

$-S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{10} - 20 \cdot 2^{10}$

$-S = \frac{2^2(2^9 - 1)}{2 - 1} - 20 \cdot 2^{10} = 4(512 - 1) - 20 \cdot 1024 = 4(511) - 20480 = 2044 - 20480 = -18436$

$S = 18436$

したがって、セン $= 9$, タチ $= 10$ である。

$-S = \sum_{n=1}^9 2 (2^n) - 20(2^{10}) = \sum_{n=1}^9 2^{n+1} - 20 \cdot 2^{10}$

$= \frac{2^2(2^9-1)}{2-1} - 20 \cdot 2^{10} = 4(511) - 20 \cdot 1024 = 2044 - 20480 = -18436$

$S = 18436$

3. 最終的な答え

(1) アイウ = 220

(2) エオカキ = 4092

(3) クケコサシス = 225060

(4) セン = 9, タチ = 10, ツテトナニ = 18436