数列 $\{b_n\}$ が $b_1 = 4$, $b_{n+1} = 3b_n - 2^{n+2}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) と定義されている。ここで、$p_n = \frac{b_n}{2^n}$ とおき、$p_1$ の値を求め、さらに $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表す問題である。

1. 問題の内容

数列 $\{b_n\}$ が $b_1 = 4$, $b_{n+1} = 3b_n - 2^{n+2}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) と定義されている。ここで、$p_n = \frac{b_n}{2^n}$ とおき、$p_1$ の値を求め、さらに $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表す問題である。

2. 解き方の手順

(i) $p_1$ の値を求める。$p_n = \frac{b_n}{2^n}$ より、$p_1 = \frac{b_1}{2^1}$ である。$b_1 = 4$ なので、$p_1 = \frac{4}{2} = 2$ となる。

(ii) $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表す。$p_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{2^{n+1}}$ であり、$b_{n+1} = 3b_n - 2^{n+2}$ なので、

$$p_{n+1} = \frac{3b_n - 2^{n+2}}{2^{n+1}} = \frac{3b_n}{2^{n+1}} - \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}}$$

$$p_{n+1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{b_n}{2^n} - 2 = \frac{3}{2} p_n - 2$$

したがって、$p_{n+1} = \frac{3}{2} p_n - 2$ となる。

3. 最終的な答え

(i) $p_1 = 2$

(ii) $p_{n+1} = \frac{3}{2} p_n - 2$