$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2x) + 1$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 2$

よって、この二次関数の頂点は $(1, 2)$ であり、上に凸の放物線である。定義域は $0 \le x \le a$ である。

場合分けを行う。

(i) $0 < a < 1$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、関数は単調増加であるから、$x = a$ で最大値をとる。

最大値は $y = -a^2 + 2a + 1$

(ii) $a = 1$ のとき

定義域 $0 \le x \le 1$ において、関数は $x = 1$ で最大値をとる。

最大値は $y = -(1-1)^2 + 2 = 2$

(iii) $a > 1$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、関数は $x = 1$ で最大値をとる。

最大値は $y = -(1-1)^2 + 2 = 2$

したがって、

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a > 1$ のとき、最大値は $2$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a > 1$ のとき、最大値は $2$